一元一次方程组知识要点Last revision on 21 December 2020
一元一次方程知识要点
一、知识框架
二、知识梳理
知识点一：一元一次方程及解的概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、一元一次方程：在方程中，只含有一个未知数x （元），并且未知数的次数是1（次），这样的方程叫一元一次方程。

一元一次方程的标准形式：0=+b ax （其中x 是未知数，b a ,是已知数，且0≠a ） 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程。

3、解方程与方程的解：求出使该方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等。

知识点二：一元一次方程的解法
1、等式的基本性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

即：如果b a =，那么c b c a ±=±。

（c 为一个数或一个式子）
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。

即：如果b a =，那么bc ac =；如果b a =（0≠c ），那么
c b c a =。

要点诠释：
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

即：）其中0(≠÷÷==m m
b m a bm am b a 特别注意：分数的基本性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化
为整数，如方程：6.12
.045.03=+--x x ，将其化为：6.12401053010=+=-x x 。

方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。

2、解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1。

⑴去分母时：①不含有分母的项也要乘以最小公分母；②区别于利用分数的性质将方程简化，此时不含分母的项不用扩大和缩小；③分数线相当于括号，去掉分母要将分子用括号括起来。

⑵去括号时：与整式中去括号法则相同，注意括号外面的符号。

⑶移项时：①区别于去括号，不论正负移项都要变号；②没有移项时不要误以为有移项，如x =-5得到5=x ，是错误的。

⑷合并同类项时：把方程化成()0≠=a b ax 的形式。

⑸系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解a
b x =。

要点诠释：
理解方程b ax =在不同条件下解的各种情况，并进行简单应用：
①0≠a 时，方程有唯一解a b x =； ②0,0==b a 时，方程有无数个解；
③0,0≠=b a 时，方程无解。

知识点三：列一元一次方程解应用题
1、列方程解应用题的步骤：
（1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系。

（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系。

（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程。

（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值。

（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解是否符合实际，检验后写出答案。

2、解应用题的书写格式：
设→根据题意→解这个方程→检验→答。

3、常见的一些等量关系
（1）和、差、倍、分问题:①较大量=较小量+多余量
②总量=倍数×倍量
（2）等积变形问题：Sh V Sh V a V abh V 3
1,,,3====椎体柱体正方体长方体 （3）行程问题： 时间速度路程追及问题相遇问题
⨯=
（4）工程问题： 工作总量=工作效率×工作时间
（5）利润率问题：()
利润率进价售价商品进价
商品利润商品利润率商品进价
商品售价商品利润+⨯=⨯==1%100- （6）数字问题：设一个两位数的十位上的数字、个位上的数字分别是a,b ，则这个两个数
可表示为10a+b 。

（7）储蓄问题： 利息=本金×利率×期数
本金和=本金+利息=本金+本金×利率×期数×（1-利息税率）
（8）按比例分配问题：甲:乙:丙=a:b:c
（9）日历中问题： 日历中每一行上相邻两数，右边的数比左边的数大1；
日历中每一列上相邻的数，下边的数比上边的数大7。

注意：日历中的数a 的取值范围是，且都是正整数
知识点四：方程与整式、等式的区别
（1）从概念来看：
整式：单项式和多项式统称为整式。

等式：用符号来表示相等关系的式子叫做等式。

如
m n n m +===+,653121等都叫做等式，而像n m b a 211
7,31
-+ 不含等号，所以他们不是等式，而是代数式。

方程：含有未知数的等式叫做方程。

如454
3,1135=--=+a x 等都是方程。

理解方程的概念必须明确两点：是等式；含有未知数。

两者缺一不可。

（2）从是否含有符号来看：
方程首先是一个等式，它是用“=”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。

（3）从是否含有未知量来看：
等式必含有“=”，但不一定含有未知量；方程既含有“=”，又必须含有未知数。

但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

一元一次方程的应用解应用题的步骤
1．审：分析好问题中的已知量和未知量，明确各数量之间的关系，从中找出能够表示实际问题全部含义的相等关系．要注意题中的相等关系有些是明显的，有些是不明显的，需要结合生活实际来发现；
2．设：设未知数，一般求什么，就设什么为x ，若有几个未知数，应恰当地选择其中的一个，用字母x 表示出来．有时直接设不容易设得话，可采用间接设；
3．找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；
4．列：根据这个相等关系列出方程；
5．解：解所列出的方程，求出未知数的值；
6．验：检验所求得的解是否符合题意； 7．答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）．。