∴S矩形ADNM＝2S△ADC．
又∵正方形ACHK和△ABK同底（AK）、等高（即 平行线AK和BH间的距离）， ∴S正方形ACHK＝2S△ABK． ∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB， ∴△ADC≌△ABK． 由此可得S矩形ADNM＝S正方形ACHK ．
K A b M H C a
G F
c
3、将纸板Ⅱ翻转后与Ⅰ拼成其 它的图形
图2
4、比较第一个和最后一个多边 形的面积，你能验证勾股定理吗？ 请试试
传说中毕达哥拉斯的证法
关于勾股定理的证明，现在人类保存下来的最早的 文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几 何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正 方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用 面积来进行的． G
已知：如图，以在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，分别以a、b、c 为边向外作正方形．
1 2 1 1 2 1 1 2 a ab c ab b 2 2 2 2 2
b
A
a c c
D
E
a-b
B
b
C
从而得到 : a 2 b2 c 2
注:这一方法是向常春 于1994年3月20日构想发 现的新法．
设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。 其边为BC、AB和CA，依序绘成矩形CBDE、BAGF和 ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE 直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形△BCF、△BDA。 由于∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和G 都是线 性对应的。同理可证B、A和H。 又因为∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于 ∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于FB 和 BC，所以△ABD 必须全 等于△FBC。 因为A 与K 和 L在同一直线上，所以矩形BDLK 必须二倍 面积于△ABD。 因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF必须二 倍面积于△FBC。 因此四边形BDLK 必须有相同的面积。S（正方形BAGF ）=(AB)² 。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积。S（正方 形ACIH）=(AC)² 把这两个结果相加， (AB)² +(AC)²= BD· BK + KL· KC 由于BD=KL，BD· BK + KL· KC =BD(BK +KC) =BD· BC 由于CBDE是个正方形，因此(AB)²+ (AC)²=(BC)² 。
朱实 中黄实 b a
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( b- a) 2
ab 那么： c 4 ( b a )2 2
2
得： c2 =a2+ b2．
刘徽的证法
刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明： 勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各 从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开 方除之，即弦也．
I
令正方形ABCD为朱方，正方 形BEFG为青方．在BG间取一点H， 使AH=BG，裁下△ADH，移至 △CDI，裁下△HGF，移至△IEF，
总统巧证勾股定理
D
a
Ccbຫໍສະໝຸດ cbAE a B
美国第二十任 总统伽菲尔德
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向常春的证明方法
S梯形ABCD 1 1 1 (a b b )(a b ) a 2 ab 2 2 2
S梯形ABCD S四边形AECD S EBC 1 2 1 c (a b )b 2 2 1 2 1 1 2 c ab b 2 2 2
K A H C b c a B F
求证：a2 +b2=c2．
D E
传说中毕达哥拉斯的证法
证明：从Rt△ABC的三边向外各作一个正方形（如图），作CN⊥DE 交AB于M，那么正方形ABED被分成两个矩形．连结CD和KB． ∵由于矩形ADNM和△ADC同底（AD），等高(即平行线AD和CN间的距离)，
5．其他证法
A
B
这棵树漂亮吗？如果在树上挂上 几串彩色灯泡，再挂上些小铃铛、小 彩球、小礼盒、小的圣诞老人，是不 是更像一棵圣诞树． 也许有人会问：“它与勾股定理 有什么关系吗？” 仔细看看，你会发现，奥妙在树 干和树枝上，整棵树都是由下方的这 个基本图形组成的：一个直角三角形 以及分别以它的每边为一边向外所作 的正方形．
B
同理可证S矩形MNEB＝S正方形CBFG．
∴S矩形ADNM＋S矩形MNEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG． 即S正方形ADEB＝S正方形ACHK＋S正方形CBFG ， 也就是 a2+b2=c2．
D N E
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赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 c “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
勾股定理的证明
32
42
52
勾股定理的证明
两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定
理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上
至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．因此不断出现关于勾股 定理的新证法．
1．传说中毕达哥拉斯的证法 2．赵爽弦图的证法
3．刘徽的证法 4．美国第20任总统茄菲尔德的证法
D E C F
是为“出入相补，各从其类”，其
余不动，则形成弦方正方形 DHFI．勾股定理由此得证．
A
B
H
G
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总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广 泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽 菲尔德的证法在数学史上被传为佳话． 总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是 否定的．事情的经过是这样的： 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步， 欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突 然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争 论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个 小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角 形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生， 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到： “是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的 斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方 加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时 语塞，无法解释了，心理很不是滋味． 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．
达· 芬奇，意大利人，欧洲文艺复兴时期的著名画家。主要作品 《自画像》《岩间圣母》《蒙娜丽莎》等
自画像
A
a
B O C F
1、 在一张长方形的纸板上画 两个边长分别为a、b的正方形， 并连接BC、FE，设长度为c 2、沿ABCDEF剪下，得两个大小 相同的纸板Ⅰ、Ⅱ
Ⅰ Ⅱ
c
E
b
D
A1
图F 11
B1 E1 C1 Ⅰ D1 Ⅰ