第2章谓词逻辑一、教学要求1. 理解谓词、量词、个体词、个体域、原子公式、谓词公式和变元等概念。

会将不太复杂的命题符号化。

2. 掌握在有限个体域下求公式的真值和某些公式在给定解释下真值的方法，判别公式类型(永真式、永假式和可满足式)的方法。

3. 掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式(六种情况：(1)命题公式的推广；(2)量词否定式的等值式；(3)量词辖域扩张和收缩的等值式；(4)量词与联结词∨，∧，→的等值式；(5)量词与联结词的重言蕴含式；(6)两个量词公式间的等值式与重言蕴含式)。

会进行谓词公式的等值演算。

4. 了解前束范式的概念，会求公式的前束范式。

5. 了解谓词逻辑推理的规则：全量词消去规则(US规则)；全量词附加规则(UG规则)；存在量词消去规则(ES规则)；存在量词附加规则(EG规则)本章重点：谓词与量词，公式与解释，前束范式，谓词逻辑推理证明。

二、学习辅导在命题逻辑中，我们把原子命题作为基本研究单位，对原子命题不再进行分解，只有复合命题才可以分解，揭示了一些有效的推理过程. 但是进一步研究发现，仅有命题逻辑是无法把一些常见的推理形式包括进去. 例如“凡人要死，张三是人，张三要死”显然是正确推理. 用命题逻辑解释三段式. 设P：人要死；Q张三是人；R：张三要死。

表示成复合命题有P∧Q→R这不是重言式，即R不是前提P，Q的有效结论. 这反映了命题逻辑的局限性，其原因是把本来有内在联系的命题P，Q，R，视为独立的命题。

要反映这种内在联系，就要对命题逻辑进行分析，分析出其中的个体词、谓词和量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是谓词逻辑的研究内容。

1. 谓词与量词学习这一部分要反复理解谓词和量词引入的意义，概念的含义。

在谓词逻辑中，原子命题分解成个体词和谓词。

个体词是可以独立存在的客体，它可以是具体事物或抽象的概念，如小张，房子，南京，大米，思想，实数2等等。

谓词是用来刻划个体词的性质或事物之间的关系的词。

例如(1)(1)ln5是无理数；(2)(2)高可比李木相高4cm；(3) 郑州位于北京和广州之间。

这时三个简单命题，其中ln5，高可，李木相，郑州，北京，广州等都是个体词，而“是无理数”，“……比……高4cm”，“……位于……和……之间”等都是谓词。

个体词分个体常项(用a,b,c,d,…表示)和个体变项(用x,y,z,…表示)；谓词分谓词常项(表示具体性质和关系的词)和谓词变项(表示抽象的或泛指的谓词)，用F,G,P,…表示。

个体常项a和个体变项都具有性质F，记作F(a)或F(x);个体常项a,与b或个体变项x 与y具有关系L,记作L(a,b)或L(x,y)。

一般地，用F(a)表示a是无理数，其中a表示ln5，F 表示的是“…是无理数”。

当F的含义不变时，则F(x)表示x是无理数，x是个体变项，F 谓词常项，F(x)不是命题，而是命题变项，F(a)是命题。

用M(x,y,z)表示“z=x×y”，M(x,y,z)不是命题。

a表示3，b表示5，c表示15，M(a,b,c)表示“15＝3×5”。

M(a,b,c)是命题，真值为1，若c=12，那么M(a,b,c)是命题，真值为0。

注意，单独的个体词和谓词不能构成命题，将个体词和谓词分开不是命题。

例2.1将下列命题符号化：(1) 丘华和李兵都是学生；(2) 2既是偶数又是素数；(3) 如果张华比黎明高，黎明比王宏高，则张华比王宏高。

解(1) 设个体域是人的集合。

P(x)：:x是学生。

a：丘华b：黎兵该命题符号化为P(a)∧P(b)(2) 设个体域为正整数集合N＋。

F(x)：x是偶数，Q(x)：x是素数a：2该命题符号化为F(a)∧Q(a)(3)(3)设个体域是人的集合。

G(x,y)：x比y高。

a：张华b：黎明c：王宏该命题符号化为G(a,b)∧G(b,c)→G(a,c)量词是在命题中表示数量的词，量词有两类：全称量词∀，表示“所有的”或“每一个”；存在量词∃，表示“存在某个”或“至少有一个”。

例2.2将下列命题符号化(1)(1)每个母亲都爱自己的孩子；(2) 所有的人都呼吸；(3) 有某些实数是有理数。

解(1) 设个体域是所有母亲的集合。

M(x)：x表示爱自己的孩子；该命题符号化为∀xM(x)。

(2) 设个体域为人的集合。

H(x)：x表示要呼吸。

该命题符号化为∀xH(x)或设个体域为生物集合，M(x)：x是人。

H(x)：x 表示要呼吸。

该命题符号化为∀x(M(x)→H(x))(3) 设个体域为数的集合。

R(x)：x 表示实数Q(x)：x 表示有理数。

该命题符号化∃x(R(x)∧Q(x))。

在谓词逻辑，使用量词应注意以下几点：(1) (1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不同，命题的真值也可能会改变。

(2) (2) 在考虑命题符号化时，如果对个体域未作说明，一律使用全个体域。

(3) (3) 多个量词出现时，不能随意颠倒它们的顺序，否则可能会改变命题的涵义。

2. 公式与解释学习这一部分内容要侧重于能将谓词逻辑公式表达式中，量词消除写成与之等值的公式，然后将解释中的数值代入，求出真值，并着重理解在谓词和量词的作用下变元的自由性、约束性和更名规则、代入规则等。

我们将命题常数0，1，一个命题和命题变元以及一个命题函数P (x 1,x 2,…,x n )，统称原子公式，由原子公式、联结词和量词可构成谓词公式(严格定义见教材)。

命题的符号化结果都是谓词公式，例如∀x(F(x)→G(x))，∃x(F(x)∧G(x))，∀x ∀y(F(x)∧F(y)∧L(x,y)→H(x,y))等都是谓词公式，当然∃x(F(x)∧G(x,y)),∀x(F(x)→G(x,y))等也是谓词公式。

在谓词公式∀xA 和∃xA 中，x 是指导变元，A 是相应量词的辖域。

在∀x 和∃x 的辖域A 中，x 的所有出现都是约束出现，即x 是约束变元，不是约束出现的变元，就是自由变元。

也就是说，量词后面的式子是辖域。

量词只对辖域内的同一变元有效。

例2.3 指出下列公式中量词的每次出现的辖域，并指出变元的每次出现是约束出现，还是自由出现，以及公式的约束变元，自由变元。

(1) ),()),(),((y x xH z y L y x R y x ∃∧∨∀∀(2) )()())()((x Q x xP x Q x P x ∧∀→∧∀解 (1) 在公式),()),(),((y x xH z y L y x R y x ∃∧∨∀∀中，∀x 只有一次出现，辖域是)),(),((z y L y x R y ∨∀；∀y 只有一次出现，辖域是),(),(z y L y x R ∨；∃x 只有一次出现，辖域是H (x ,y )。

变元x 在公式),()),(),((y x xH z y L y x R y x ∃∧∨∀∀中有四次出现，其中第一次出现是在∀x 中的出现，是约束出现；第二次出现是在∀x 的辖域中的出现，也是约束出现；第三次出现是在∃x 中的出现，也是约束出现；第四次出现是在∃x 的辖域中的出现，也是约束出现。

这四次出现都是约束出现，所以x 是该公式的约束变元。

不是它的自由变元。

变元y 在公式),()),(),((y x xH z y L y x R y x ∃∧∨∀∀中有四次出现。

其中第一次是在∀y 中的出现，是约束出现；第二次出现和第三次出现是在∀y 的辖域中的出现，也是约束出现；第四次出现是自由出现。

Y 在该公式中有三次约束出现，一次自由出现，因此变元y 既是该公式的约束变元，也是自由变元。

变元z 在该公式),()),(),((y x xH z y L y x R y x ∃∧∨∀∀中只有一次自由出现，所以z 是该公式的自由变元，约束也是变元。

(2) 在公式)()())()((x Q x xP x Q x P x ∧∀→∧∀中，∀x 有二次出现，其第一次出现的辖域是)()(x Q x P ∧；其第二次出现的辖域是)(x P 。

变元x 在公式)()())()((x Q x xP x Q x P x ∧∀→∧∀中有六次出现，其中第一次出现和第四次出现是在∀x 中的出现，是约束出现；第二次出现和第三次出现是在∀x 的第一次出现的辖域中的出现，是约束出现，第五次出现是在∀x 的第二次出现的辖域中的出现，也是约束出现；x 的第六次出现是自由出现。

变元x 在该公式中五次约束出现，一次自由出现。

因此变元x 既是该公式的约束变元，也是自由变元。

从例3看到，同一个个体变项，在同一个公式中，既可以是约束出现，也可以是自由出现，这种情况有时会造成一些混淆，带来不变。

要改变这种情况，使一个个体变项在同一个公式中不同时既是约束出现，又是自由出现，采取换名规则或代入规则。

换名规则，就是把公式中量词的指导变元及其该量词的辖域中的该变元换成该公式中没有出现的个体变元，公式的其余部分不变。

代入规则，就是把公式中的某一自由变元，用该公式中没有出现的个体变元符号替代，且要把该公式中所有的该自由变元都换成新引入的该符号。

如例3(1)中，变元y 既是约束出现，又是自由出现，把约束变元y 换名为u.。

于是原公式换为),()),(),((y x xH z u L u x R u x ∃∧∨∀∀也可以将自由变元y 代换为t ，原公式变为),()),(),((t x xH z y L y x R y x ∃∧∨∀∀都是与原公式等值的。

例3(2)中，原公式换为 )()())()((t Q u uP x Q x P x ∧∀→∧∀是与原公式等值的，且个体变元符号不再相同。

谓词公式只是一个符号串，没有什么意义，但我们给这个符号串一个解释，使它具有真值，就变成一个命题。

所谓解释就是使公式中的每一个变项都有个体域中的元素相对应。

解释有四部分组成：(1) 非空个体域D ；(2) D 中有一部分特定元素，用来解释个体常项；(3) D 上一些特定函数，用来解释出现的函数变项；(4) D 上一些特定谓词，用来解释谓词变项。

例2.4 给定解释I ： ① D ＝{2,3};② D 中特定元素a=2；③ 函数为2)3(,3)2(==f f④ 谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1G(x,y)为G(2,2)=G(2,3)=G(3,2)=0,G(3,3)=1L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0求在解释I 下各公式的真值。

(1) ),()(a x G x xF ∧∀;(2) )))(,())(((x f x G x f F x ∧∃；(3) ),(y x yL x ∃∀；(4) ),(y x xL y ∀∃。

解 设所求四个公式分别记作A ，B ，C ，D 。