数学建模（ Mathematical Modeling ）
建立数学模型的全过程，包括表述、求解、解释、检 验等。
5
1. 系统模型的概述
一个简单的数学模型：“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需 30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速 度是用多x少表?示船速，y 表示水速，列出方程：
椅子位置
B´ B
A´

O
A
x
以中心为对称点，正方形绕中心 C ´ 的旋转对应椅子位置的调整
D´ D
正方形ABCD绕O点旋转
18
椅子能在不平的地面上放稳吗？
模型构成
2）椅脚着地的数学表示
四只脚着地：椅脚与地面距离为 C
零，距离是 的函数
B´ B
A´

O
A
x
四个距离 (四只脚)
正பைடு நூலகம்形 对称性
从现实对象到数学模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型 中人们需要的那一部分特征。
系统
系统建模
仿真实验
模型
仿真建模 计算机
建模仿真三要素及三个基本活动
3
1. 系统模型的概述
从现实对象到数学模型
系统模型是研究和掌握系统运动规律的有力工具， 它是认识、分析、设计、预测、控制实际系统的 基础，也是解决系统工程问题不可缺少的技术手 段。
规律 实例研究：椅子能在不平的地面上放稳吗？
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地， 放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放 稳了。为什么？
16
椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题分析
涉及的对象：地面，椅子
椅子的位置和调整
放稳：椅子的四只脚着地
模型假设
四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈 正方形;
模型准备
模型假设
1）模型准备
了解实际背景 明确建模目的
模型检验
模型分析
搜集有关信息 掌握对象特征
模型应用
模型构成 模型求解
形成一个比较清晰的“问题”
12
1. 系统模型的概述
数学建模的基本步骤
2）模型假设
针对问题特点和建模目的，作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;
地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同
时着地。
17
椅子能在不平的地面上放稳吗？
模型构成
用数学语言把椅子位置和四只 脚着地的关系表示出来。
1）椅子位置和调整的表述
利用正方形（椅脚连线）的对称 性
用（对角线与x轴的夹角）表示 C
8
1. 系统模型的概述
数学模型的分类
应用领域
人口、交通、经济、生态 … …
数学方法
初等数学、微分方程、规划、统计 … …
表现特性
确定和随机，静态和动态，离散和连续，线性和非线 性
了解程度
白箱、灰箱、黑箱
9
1. 系统模型的概述
数学建模的基本方法
机理分析
根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数 量规律。
(x y) 30 750
x =20
( x y) 50 750 求解 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
6
1. 系统模型的概述
一个简单的数学模型：“航行问题”
可以看出，上述过程的主要步骤如下：
作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列
常用系统建模方法
主要参考资料
齐欢，王小平. 系统建模与仿真（第2版），第2 章
姜启源, 谢金星 , 叶俊. 数学模型（第3版），第1 章
1
常用系统建模方法
1.系统模型的概述 2.建模的逻辑思维方法 3.图解建模法 4.层次分析法 5.聚类分析
2
1. 系统模型的概述
两个距离
C´
D´
D
正方形ABCD绕O点旋转
f()： A, C 两脚与地面距离之和
模型求解
解析解、仿真
5）模型分析
模型应用
例如，对结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定 性分析
6）模型检验
与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性
14
2. 建模的逻辑思维方法
建模是一项复杂的思维活动，也可以看成是 一门艺术，因而既没有统一的模式，也没有 固定的方法，需要多方面的能力
建立有效且可靠的系统模型是系统研究者的首要 任务。
数学模型是系统模型的最主要和最常用的表示方 式。
4
1. 系统模型的概述
数学模型与数学建模
数学模型（Mathematical Model）
对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在 规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具， 得到的一个数学结构。
出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
7
1. 系统模型的概述
数学模型的特点
模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的强健性 模型的可转移性
模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性
测试分析（实验统计建模）
将对象看作“黑箱”，通过对量测数据的统计分析， 找出与数据拟合最好的模型。
二者结合
用机理分析建立模型结构，用测试分析确定模型参数
10
1. 系统模型的概述
数学建模的基本步骤
模型准备
模型假设
模型构成
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
11
1. 系统模型的概述
数学建模的基本步骤
3）模型构成
用数学的语言、符号描述问题 模型准备
模型假设
模型构成
发挥想像力
使用类比法 尽量采用简单的数学工具
模型检验
模型分析
模型求解
模型应用
13
1. 系统模型的概述 模型准备
模型假设
模型构成
数学建模的基本步骤
4）模型求解
模型检验
利用各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
分析综合能力 抽象概括能力 想象洞察能力 运用数学工具的能力 通过实践验证数学模型的能力
通过实例研究，了解建模过程常用的思维方 法，包括抽象、归纳、演绎、类比等。 15
2. 建模的逻辑思维方法
1)抽象
揭示事物的共性和联系的规律 忽略每个具体事物的特殊性，着眼于整体和一般