第二专题 广义逆矩阵
广义逆矩阵是E.H.Moore 于1920年首次提出来的，1955年R.Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。
其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。
它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。
为此，我们从线性方程组m n n m b x A =⨯的解开始讨论(n m >称为超定方程；n m <称为亚定方程)。
若存在向量x ，使b Ax =成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。
对于相容方程组，若A 是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解
{}-=A A 1。
我们要找到唯一的极小范数解{}-=m A A 4,1。
对于
矛盾方程我们要找到它的近似解——最小二乘解{}-=l A A 3,1；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的
最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），{}+=A A 4,3,2,1。
§1 矩阵的左逆与右逆
设A 是n 阶矩阵，A 可逆当且仅当存在n 阶矩阵B ，使得
I BA AB ==
当A 可逆时，其逆唯一，记为1-A .
下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到n m ⨯矩阵上，定义一种单侧逆.
一、满秩矩阵与单侧逆
定义1 设n m R A ⨯∈，若存在矩阵m n R B ⨯∈，使得
n I BA =
则称A 是左可逆的，称B 为A 的一个左逆矩阵，记为1-L A .
若存在矩阵m n R C ⨯∈，使得
m I AC =
则称A 是右可逆的，称C 为A 的一个右逆矩阵，记为1-R A .
下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件.
定理1 设n m R A ⨯∈，则下列条件是等价的：
(1)A 是左可逆的； (2)A 的零空间{}0)(=A N ；
(3)n A R n m =≥)(,,即A 是列满秩的；(4)A A T 是可逆的. 证明
)2()1(⇒，设A 是左可逆的，则存在m n R B ⨯∈，使得
n I BA =，),(A N x ∈∀ 0=Ax ，于是00====B BAx x I x n ，即证A 的解空间{}0)(=A N .
)3()2(⇒，由{}0)(=A N ，再根据线性方程组解的理论知，n A N n A R =-=)(dim )(，从而A 是列满秩的，当然有n m ≥.
)4()3(⇒，设n A R =)(,由n A R A A A T ===)()(dim )](dim[μμ,知A A T 是可逆的.
)1()4(⇒，由A A T 可逆，得n T T I A A A A =-1)(知T
T A A A 1)(-是A 的一个左逆矩阵，即T T L
A A A A 11)(--=。
注：左逆的一般表达式为：
U A UA A A T T L 11)(--=
其中U 是使关系式)()(A rank UA A rank T =成立的任意m 阶方阵。
定理2 设n m R A ⨯∈，则下列条件是等价的：
(1)A 是右可逆的； (2)A 的列空间m R A =)(μ；
(3)m A R n m =≤)(,,即A 是行满秩的；(4)T AA 是可逆的。
其证明留给读者.
)3()1(⇒，由m A rank AB rank I rank m m ≤≤==)()()(得n m ≤，m A R =)(，A 是行满秩的；由m T T I AA AA =-1)(，知
1)(-T T AA A 是A 的一个右逆矩阵，即11)(--=T T R AA A A 。
注：右逆的一般表达式为：
11)(--=T T R AVA VA A
其中V 满足)()(A rank AVA rank T =。
例1 矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=050004A 是右可逆的，不是左可逆的。
由于
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10015/1004/10500043231
R R A 注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩阵。
一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩阵都不是唯一的。
若同时左可逆和右可逆，则此矩阵存在正则逆。
二、单侧逆与解线性方程组
定理3 设n m R A ⨯∈是左可逆的，m n R B ⨯∈是A 的一个左逆矩阵，则线性方程组b AX =有形如Bb X =解的充要条件
是
0)(=-b AB I m
若上式成立，则方程组有唯一解
b A A A X T T 1)(-=
证明
设方程组b AX =有解0X ，则ABb X BA A AX b ===00)(，从而0)(=-b AB I m .反过来，若0)(=-b AB I m ，则b ABb =，从而Bb X =0是方程组的解.
当方程组有解时，因为A 左逆，所以n A R =)(，从而方程组b AX =有唯一解.由T A A A 1T )(-是A 的一个左逆矩阵，所以b A A A AX A A A X T T 1T 1T )()(--==，即b A A A X T 1T )(-=为b AX =的唯一解。
注：虽然左逆矩阵不唯一，但方程的解唯一。
定理4 设n m R A ⨯∈是右可逆的，则线性方程组b AX =对
任何m R b ∈都有解。
且对A 的任意一个右逆矩阵1-R A ，
b A X R 1-=是其解。
特别地，b AA A X T T 1)(-=是方程组b AX =的一个解。
证明
因A 右可逆，则m R I AA =-1，对任何m R b ∈，都有
b b I b AA m R ==-1,
即b A X R
1-=是方程组b AX =的解。
事实上，矩阵的左逆（或右逆）矩阵还是矩阵的减号逆，自反减号逆，最小范数广义逆，最小二乘广义逆和加号逆。