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考点17 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1.(2019·全国卷Ⅰ文科·T11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a sin A-b sin B=4c sin C,cos A=-1
4,则b
b
= ()
A.6
B.5
C.4
D.3
【命题意图】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.
【解题指南】利用余弦定理推论得出a,b,c的关系,再结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.
【解析】选A.由已知及正弦定理可得a2-b2=4c2,由余弦定理推论可得-1
4=cos A=b2+b2-b2
2bb
,所以b2-4b2
2bb
=-1
4
,所以3b
2b
=1
4
,所以
b b =3
2
×4=6,故选A.
二、填空题
2.(2019·全国卷Ⅱ理科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π
3
,则△ABC的面积为.
【命题意图】考查余弦定理以及三角形面积公式的应用.
【解析】因为cos B=b2+b2-b2
2bb
,
又因为b=6,a=2c,B=π
3
,可得c2=12,
1
解得c=2√3,a=4√3,
则△ABC的面积S=1
2×4√3×2√3×√3
2
=6√3.
答案:6√3
3.(2019·全国卷Ⅱ文科·T15)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 【命题意图】考查正弦定理、同角三角函数基本关系的运用.
【解析】已知b sin A+a cos B=0,由正弦定理可得sin B sin A+sin A cos B=0,即sin B=-cos B,
又因为sin2B+cos2B=1,解得sin B=√2
2,cos B=-√2
2
,故B=3π
4
.
答案:3π
4
4.(2019·浙江高考·T14)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=
.
【命题意图】本题主要考查解三角形问题,即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.
【解析】在△ABD中,由正弦定理有:bb
sin∠bbb =bb sin∠bbb
,
而AB=4,∠ADB=3π
4
,AC=√bb2+bb2=5,
sin∠BAC=bb
bb =3
5
,cos∠BAC=bb
bb
=4
5
,所以BD=12√2
5
.
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)
=cosπ
4cos∠BAC+sinπ
4
sin∠BAC=7√2
10
.
2
答案:12√2
57√2 10
三、解答题
5.(2019·全国卷Ⅰ理科·T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin B sin C.
(1)求A.
(2)若√2a+b=2c,求sin C.
【命题意图】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题,涉及两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用,解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系.
【解题指南】(1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得:b2+c2-a2=bc,从而可求出cos A,根据A∈(0,π)可求得结果;(2)利用正弦定理可得√2sin A+sin B=2sin C,利用sin B=sin(A+C)、两角和差正弦公式可得关于sin C和cos C的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果.
【解析】(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin B sin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.
由余弦定理得cos A=b2+b2-b2
2bb =1 2 .
因为0°<A<180°,所以A=60°.
(2)方法一:由(1)知B=120°-C,
由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C,
即√6
2+√3
2
cos C+1
2
sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√2
2
.
3。