当一个物体同时参与几个 谐振动时, 就需考虑振动的合 成问题。
两种典型振动合成 —— 振动方向相同 —— 振动方向垂直
振 （1）同方向、同频率的简谐振动的合成, 它是波的干涉
动 方
的重要基础。
向 （2）同方向、不同频率的简谐振动合成，其结论可以
相 同
给出重要的实际应用。
例如：耳膜的振动等
一 两个同方向、同频率简谐运动的合成
2
2
2Acos(1 2 t) cos(1 2 t)
2
2
令A(t) 2Acos(1 2 t)
2
cost cos(1 2 t)
2
x A(t) cost 合振动的振幅随时间变化
两同方向不同频率的简谐振动的合成之后为 x A(t) cost
同方向不同频率合振动的特点：（1）合振动频率源自1 221
2
（2）合振幅 A(t) 2 A cos(1 2 t)
2
合振动的振幅在0--2A之间随t周
期性变化，时强时弱，合振幅时强时
弱的现象称为拍。
合振幅在单位时间内变化的次数称拍频。
拍频 1 2
（3）合振动不是简谐振动。
拍 现 象 动 画
拍现象在声振动、电磁振动中经常用到
385 Hz 383 Hz
2
A1 A2
合振动方程
x
(
A1
A2
)
c
os
(t
2
)
( A1
T
A2
)
c
os
(
2
t
2
)
二、两同方向不同频率的简谐振动的合成
条件：两个分振动的振幅相同，频率相近。
设分振动
x1 A cos1t 设:初相位相同且为零
x2 A cos2t
振幅 A1 A2 A
合振动
x x x 1
2
由（cos cos 2cos cos ）
kA2
cos2 (
t
0)
x
E
1 2
kA2
1 2
m A2 2
1 2
m vm2
E
1) 动能变化频率2ω，势能变化频率2ω
t E 1 kA2
2
Ep
2) 一个周期内
Ek
Ep
1 2
E
3) 频率一定时 E A2
O
Ek
t
简谐振子的动能、势能随时间变化的曲线
振幅一定时 E 2
第四篇
振动和波动
11-3 简谐振动的合成
初相位
0
arctan( v02
x0
)
相位 t 0
三、 简谐振动的表示方法
解析法：x A cos(t 0)
曲线法：x— t 曲线
x t
T
A
t 0
t
0
o
x
旋转矢量法：矢量A绕0以ω转动时，A在x轴投影x A cos(t 0 )
四、简谐振动的能量
Ek
1 2
kA2 sin 2 (
t
0)
E
p
1 2
x
x
A1 o
o
20
A
A2
Tt
A A1 A2
两个同方向同频率的合振动振幅与分振动的相位关系
（1）相位差 20 10 2k π (k 0，1，)
两个简谐振动的相位相同，合振动的振幅
A A1 A2 相互加强
若 A1 A2 则 A 2A1
（2）相位差 20 10 (2k 1) π (k 0，1，)
一、简谐振动的三个判据
受力特征 f kx k m
微分方程
d2x dt 2
2x
0
振动方程 x A cos t 0
k
m
x
A 0 x A
二、简谐振动的特征
x Acos t 0
v
A
cos t
0
π 2
a A 2cos t 0 π
圆频率 k m
频率 2π
周期
T
1
振幅 A x02 v02 2
听到的音频
384 Hz
强度节拍性变化
2 Hz
讨论两种特殊相位情况 A A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
1）同相位 20 10 2k π (k 0，1， 2,)
xx
0
o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 A2
讨论两种特殊相位情况 A A12 A22 2A1A2 cos(20 10 )
2）反相位 20 10 (2k 1) π (k 0，1, )
设一质点同时参与两个同方向同频率的谐振动，表达式分别为：
x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
合振动位移 x = x1+ x2
由 三角函数可以证明
x A cos(t 0 )
两个同方向、同频率简谐运 动合成后，仍然为简谐运动，振 动频率仍为ω.
x1 A1 cos(t 10) x2 A2 cos(t 20)
两个简谐振动的相位相反，合振动的振幅
A A1 A2 相互削弱
若 A1 A2 则 A O
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
合振动的振幅在 A1 A2 和 A1 A2 之间
例 两个同方向的简谐振动曲线如图所示，求合振动 方程。
A1 A2
x1
x2
t
解：由振动曲线得
10
2
20
3
A、0
可由旋转矢量法导出。
0
由余弦定理
A
A2
A2 sin20
A 2010 0
x x x x 2
A1 cos 10
A1 sin10
1
1
A2
cos
20
A A12 A22 2A1A2 cos(20 10)
tan 0
A1 sin 10 A1 cos10
A2 sin 20 A2 cos20