（Ⅲ）如图③中，
∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1， ∴OP＝ BD1，PN＝ E1C，OP∥BD1，PN∥CE1 ∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C， ∴OP⊥PN，OP＝PN， ∴△OPN 是等腰直角三角形， ∵AB＝4 ，AD1＝2， ∴4 ﹣2≤BD1≤4 +2， ∴2 ﹣1≤OP≤2 +1， ∴△OPN 面积的最小值＝ （2 ﹣1）2＝ ﹣2 ，△OPN 的面积的最大值＝ +2 ，
∵CH＝DH，
∴BH＝ CD＝2 ，
∴ ＝ ＝2 ， ∴AE＝2 BH． 故答案为 AE⊥BH，AE＝2 BH．
问题证明：如图 2 中，（1）中结论成立．
理由：延长 BH 到 F 使得 HF＝BH，连接 CF．设 AE 交 BF 于 O． ∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD， ∴△CHF≌△DHB（SAS）， ∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，
5∴．ຫໍສະໝຸດ 2、如图（1）在 Rt△ABC 和 Rt△BDE 中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE 绕点 B 逆时针旋转，H
为 CD 的中点，当点 C 与点 E 重合时，BH 与 AE 的位置关系为
，BH 与 AE 的数量关系为
；
问题证明：在 Rt△BDE 绕点 B 旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情 形给出证明若不成立，请说明理由；
②当 AC= 1 ED 时，探究在△ABC 旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以 A、B、C、D 四点为顶点的四边 2
形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD， ∴AE-AB=AD-AC，∴BE=CD；
1
∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC= ED，∴AC=CD，∴∠CAD=45°，或 360°-90°-45°=225°，
2
∴角α的度数是 45°或 225°． 等腰直角三角形的性质，等量代换，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质， 综合性较强
2、如图①，在 Rt△ABC 和 Rt△EDC 中，∠ACB=∠ECD=90°，AC=EC=BC=DC，AB 与 EC 交于 F，ED 与 AB、BC 分别交于 M、H． （1）求证：CF=CH； （2）如图②，Rt△ABC 不动，将 Rt△EDC 绕点 C 旋转到∠BCE=45°时，判断四边形 ACDM 的形状，并证明你 的结论．
拓展应用：在 Rt△BDE 绕点 B 旋转的过程中，当 DE∥BC 时，请直接写出 BH2 的长．
解：问题发现：如图 1 中，结论：AE＝2 BH，AE⊥BH．
理由：在 Rt△ABC 中，∵BC＝6，∠A＝30°， ∴AE＝2BC＝12，
6
在 Rt△CDB 中，∵∠DCB＝30°，
∴CD＝
＝4 ，
（1）证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，AC=BC=CD=CE，∴∠1=∠2=90°-∠BCE，∠A=∠B=∠D=∠E=45°，
A＝D
在△ACF
和△DCH
中，
AC＝CD
，∴△ACF≌△DCH，∴CF=CH；
1＝2
2
（2）四边形 ACDM 是菱形，证明：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=90°-45°=45°， ∵∠A=∠D=45°，∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°，同理∠D+∠ACD=180°，∴AM∥DC，AC∥DM， ∴四边形 ACDM 是平行四边形，∵AC=CD，∴四边形 ACDM 是菱形． 【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置，除去对应线段和对应角相等外，里面也存在着相等的 角，和全等三角形，在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。
专题 44 以三角形为基础的图形的旋转变换问题
【例题精讲】 1、如图 1，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点 B 在线段 AE 上，点 C 在线段 AD 上． （1）请直接写出线段 BE 与线段 CD 的关系： BE=CD ； （2）如图 2，将图 1 中的△ABC 绕点 A 顺时针旋转角α（0＜α＜360°）， ①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；
∴在 Rt△DAE 中，
，
②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°， ∴∠BAC＝90°，
4
∵△ABD 旋转得到△ACE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， 在△BFC 中，则有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°， ∴BF⊥CE．
（2）①∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，
AB＝AC 由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE 与△CAD 中， BAE＝CAD ，
AE＝AD
∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；
1
②∵以 A、B、C、D 四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形，
【针对训练】 1、如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点 D 的坐标； （Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD 绕点 A 逆时针方向旋转得到△ACE，点 B，D 的对应点分别为 C，E．连接 DE，BD 的延长线与 CE 相交于点 F． ①求 DE 的长； ②证明：BF⊥CE． （Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE 绕点 A 在平面内旋转一周，在旋转过程中点 D，E 的对应点分别为 D1， E1，点 N，P 分别为 D1E1，D1C 的中点，请直接写出△OPN 面积 S 的变化范围．
解：（Ⅰ）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°， ∴∠OAB＝∠ABO＝45°． ∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．
3
如图①中，过点 D 作 DG⊥OA，垂足为 G．
在 Rt△ADG 中，∠DAG＝30°，
∴
，
，
∴
，
∴点 D 的坐标为
．
（Ⅱ）①如图②中，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，