图形的旋转旋转对称:一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合,这样的图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转中心. 注意:①旋转角是对应点与旋转中心的连线所成的夹角。

②在旋转过程中保持不动的点是旋转中心。

③旋转过程中应注意旋转的方向（逆时针或顺时针）。

基本类型：⑴正三角形类型 在正ΔABC 中，P 为ΔABC 内一点，将ΔABP 绕A 点按逆时针方向旋转60，使得AB 与AC 重合。

经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的PA 、PB 、PC 三条 线段集中于图(1-1-b)）中的一个ΔP'CP 中，此时ΔP'AP 也为等边．．三角形。

⑵正方形类型 在正方形ABCD 中，P 为正方形ABCD 内一点，将ΔABP 绕B 点按顺时针方向旋转900，使得BA 与BC 重合。

经过旋转变化，将图(2-1-a)中的PA 、PB 、PC 三条线段集中于图(2-1-b)中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角．．．．三角形。

⑶等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形ΔABC 中，90C ∠=， P 为ΔABC 内一点，将ΔAPC 绕C 点按逆时针方向旋转900，使得AC 与BC 重合。

经过这样旋转变化，在图(3-1-b)中的一个ΔP' CP 为等腰直角．．．．三角形。

题型一：利用图形的旋转求线段长例1.如图，P 为等边三角形ABC 内一点，∠BPC等于150°,PC=5,PB=12，则PA 的长为 . 解析:将△BPC 绕C 点顺时针旋转60°, 连接PP′， ∵∠PC P′=60°，CP=C P′， ∴△PC P′是等边三角形， ∵∠AP′C=∠BPC=150°，∴∠AP′P=150°-60°=90°， 又∵PP′=PC=5，AP′=BP=12. ∴在Rt △APP′中，PA=22'13AP PP += 点评：解此题的关键是：把PA 、PB 、PC 放在“同一个四边形”中， 作出辅助线构造等边三角形是解本题的关键。

例2.如图，点P 是正方形ABCD 内一点,AP=1，PB=2,∠APB=135º，则PC 的 长等于 . 解析:如图,把△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得到△ABP′ ∴AP′=PC ，BP′=BP=1. 故△PBP′是等腰直角三角形. ∴P'PB 45∠=,22P'P BP +BP'2==APP'=APB P'PB 90∠∠-∠=在Rt APP'中，22AP'PP'+AP 5== ∴5PC =点评：解此题的关键是：把PA 、PB 、PC 放在“同一个四边形”中， 作出辅助线构造等腰直角三角形是解本题的关键。

例3. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD 的 长为( )A.32B.4C.23D.42解析:在Rt △AOB 中，AO 2=AB 2-BO 2；Rt △DOC 中可得：DO 2=DC 2-CO 2；∴AD 2=AO 2+DO 2=AB 2-BO 2+DC 2-CO 2=18， 即可得AD=1832=，故选A ． 思考题：如图,将△ABC 绕顶点A 顺时针旋转60后,得到△AB'C',且C'为BC 的中点,则C'D:DB'=( )A.1:2B.1:22C.1:3D.1:3 题型二：利用图形的旋转求角的大小 例4.如图,在ΔABC 中,ACB 90∠=, BC=AC,P 为ΔABC 内一点,且PA=3，PB=1，PC=2, 则BPC ∠的度数是 .解析: 将△BCP 绕B 逆时针旋转90°, 连接PP′， ∵∠PCP′=90°，CP=CP′， ∴△PC P′是等腰直角三角形，∴∠CPP′=45°,22PP'CP CP'22=+=.又∵BP'=PA=3，PB=1， ∴222BP'PB PP'=+，即P'PB=90∠. ∴BPC=135∠例5.如图，P 为正方形ABCD 内一点，PA=1， PB=2，PC=3，则∠APB = 解析:将△APB 绕B 点顺时针旋转90°并连接PE ，∵将△APB 绕B 点顺时针旋转90°，得△BEC ， ∴△BEC ≌△BPA ，∠APB=∠BEC ， ∴△BEP 为等腰直角三角形,∴∠BEP=45°， ∵PB=2，∴PE=22∵PC=3，CE=PA=1，∴PC 2=PE 2+CE 2，即∠PEC=90°， ∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．例6.如图,已知O 是等边三角形△ABC 内一点， ∠AOB 、∠BOC 、∠AOC 的度数之比为6:5:4，在以OA 、OB 、OC 为边的三角形中，此三边所对的角的度数是 . 解析:∵∠AOB ：∠BOC ：∠AOC=6：5：4，∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，将△AOC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AO′B ，连接OO′，∵△AO′B ≌△AOC ， ∴∠AO′B=∠AOC=96°，O′B=OC ，AO′=AO ， ∵∠OAO′=60°，AO=AO′， ∴△AOO′是等边三角形， ∴OO′=AO ， ∴△BOO′即是以OA ，OB ，OC 为边长构成的三角形，∵∠AOO′=∠AO′O=60°，∴∠BOO′=84°，∠BO′O=36°，∠O′BO=60°， 思考题:如图,在等边ΔABC 中,点E 、D 分别为AB 、 BC 上的两点，且BE=CD ，AD 与CE 交于点M, 则 AME ∠=( ) A .60 B .120 C .135 D .150 图(1-1-a) 图(1-1-b)图(2-1-a) 图(2-1-b)图(1-1-a) 图(1-1-b) E (P')DA CB PP'D A CB P DA CB PCABPP'CABPAB CPD A C B P M DE A B C题型三：利用图形的旋转求面积 例7.如图，已知Rt ABC 中，90C ∠=， 点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、B Ｃ上， 四边形CFDE 是正方形,若AD=3,BD=4， 则ADE 和DBF 的面积之和为 . 解析:该题常采用的思路是利用ADEDBF ，计算出直角三角形的两条直角边的长度和正方形的边长，然后利用大三角形的面积减去正方形的面积，即可求得两个三角形的面积之和，但计算量较大。

若对于此题运用图形旋转的思想来解，会给我们耳目一新的感觉。

如图，把ADE 绕点Ｄ旋转90，这时DE 与DF 重合.∵ADB 180∠=，EDF 90∠=，∴A'DB 90∠=，又AD=3,BD=4， ∴'134122A DB S ∆=⨯⨯=即两个三角形的面积之和等于6. 例８.如图,P 是正方形ABCD 内一点， 点P 到正方形的三个顶点A 、B 、C 的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3， 正方形ABCD 面积为 .解析:该题一般的思路是利用三角形的性质计算得到正方形的边长，但受限于初中的数学知识，很难继续运算下去，故考虑用图形旋转的思想来解。

如图，把APB 绕点Ａ逆时针旋转90,把CPB 绕点Ｃ顺时针旋转90, 易证，△EAP 与△PCF 均为等腰直角三角形. ∴PE=2，PF=32 ∵EDA=PBA ∠∠，FDC=PBC ∠∠.又∵PBA+PBC=90∠∠，∴EDF=EDA+FDC+ADC=180∠∠∠∠∴点Ｄ、Ｅ、Ｆ在同一条直线上. ∴EF ED DF 4=+=.在△EFD 中，EF=4，EP=2，FP=32. ∵222EP FP EF +=, ∴EPF 90∠=，即△EPF 为直角三角形. ∴17++322EPF EPA PFC ABCD S S S S ∆∆∆==+=正方形思考题：如图,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ， AB ⊥BC,AD=2,BC=3，将腰CD 以D 为中心，逆时针旋转90°至ED ，连结AE 、CE ，则△ADE 的面积是（ ） A .1 B.2 C.3 D.4题型四：利用图形的旋转探索图形中线段之间的关系例9.如图，正方形ABCD 边上有动点E 、F ， DEF 的周长等于正方形ABCD 周长的一半， 探索：EBF ∠的度数是否随点E 、F 位置的变化而改变，如果有变化，请找出变化的规律； 若不变，请求出EBF ∠的度数的大小。

解析:由DEF 的周长等于正方形ABCD 的一半，可以得到AF+CE ＝EF ，这与EBF ∠的度数似乎无联系。

此时把BCE 绕点B 逆时针旋转90,如图， ∵BC=BA,BAG BCE=BAF=90∠=∠∠, ∴点G 、A 、F 、D 在同一条直线上. ∵GF=GA+AF=CE+AF=EF,BG=BE,BF=BF, ∴BGF BEF ∆∆,∴GBF EBF ∠=∠. 又GBF EBF=GBA ABF EBF=EBC ABF EBF=90∠+∠∠+∠+∠∠+∠+∠, ∴EBF=BF=901452G ∠∠⨯=例10.如图,已知△ABC 中AB=AC,BAC 90∠=,∠EPF 的顶点P 是BC 中点,两边PE,PF 分别交AB 、AC 于点E 、F ，给出以下五个结论：⑴AE=CF; ⑵∠APE=∠CPF;⑶△EPF 是等腰直角三角形;⑷EF=BE+CP;⑸S 四边形AEPF =12S △ABC ， 当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时(点E 不与A 、B 重合)上述结论中始终正确的序号有 .解析：如图，把PCF 绕点Ａ逆时针旋转90, 可得PAE ，即PCF PAE ≅∴AE=CF ，PE=PF ，∠APE=∠CPF ，∴①②③正确. ∵PCF PAE ≅ ∴S 四边形AEPF = S △PAE + S △PAF = S △PCF + S △PAF = S △PAC =12S △ABC ∴⑤正确. ∵等腰直角三角形的斜边等于直角边的2倍表示出EF ，∴EF 随着点E 的变化而变化，判定④错误， 思考题:如图, ΔABC 是边长为5的等边三角形，ΔBDC 是等腰三角形,且BDC 120∠=,以点D为顶点作一个60的角，使其两边分别交AB 、 AC 于点M 、N ，则ΔAMN 的周长为 . 题型五：利用例11.在边长为2的正方形ABCD 内求一点P ， 使得PA+PB+PC 之和为最小.并求这个最小值． 解析:将△BPC 顺时针旋转60，得为等边△PBE ． ∴PE ＝PB ，EF ＝PC即 PA+PB+PC ＝AP+PE+EF 。