第八章 常微分方程
kt
kt
课堂 练习
5/16
一、引例
预备 知识
目的 要求
引例2 银行帐户中的余额计算数学模型 某银行帐户以当年余额的3%的年利率连续每年 盈利利息.假设最初存入的数额为1万元，并且这 之后没有其他数额存入和取出，求帐户中余额所 满足的方程.
解：设 y 为时刻 t 时的余额，并且这以后没有存入 和取出，那么余额的变化率就等于利息，即
目的 要求
重点 难点
复习 指导
g sin 0 ( g , l 为常数). 2 dt l
一阶的
课堂 练习
一阶的 说明 dy du 引例 1中的dt = -k(u – 25)引例2中 0.03 y 都是微分方 . 未知函数是一元函数的微分方程 , 叫常微分方程 dt 程 ，且是常微分方程。 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.
第八章 常微分方程
2/16
背
预备 知识
景
1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的 冰人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微 分方程，推断这个冰人大约遇难于5000年以前，类
目的 要求
重点 难点
似的实例还有很多．在微分方程的发展史中，数学 家牛顿、莱布尼兹、贝努利家族、拉格朗日、欧拉、
拉普拉斯等等都做出了卓越的贡献．
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
1 dy dy 0.03dt 0.03 y 将方程写成 y dt 两边积分，得 ln y 0.03t C1,
y e0.03t C1 eC1 e0.03t
第八章 常微分方程
6/16
一、引例
引例2 银行帐户中的余额计算数学模型
预备 知识
y e
通解 特解 说明
课堂 练习
引例2中， y Ce u=25 + c e u=25 + 125 e 引例1 中， dy 都是 du 0.03 y 的解 都是 dt dt = -k(u – 25) 的解
0.03 t kt
0.03t kt y 10000 e 和 和
第八章 常微分方程Fra bibliotek9/16
复习 指导
课堂 练习
第八章 常微分方程
3/16
一、引例
预备 知识
引例1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置在空气温度为 25℃的环境中冷却，在
时刻 t = 0 时，测量得它的温度为 u0 =150℃，10 分 钟后测量得温度为 u1 =100 ℃ , 我们要求决定此物 体的温度 u 和时间 t 的关系. 解 根据牛顿冷却定律：物体温度的变化率与物体和 当时空气温度之差成正比例。设物体在时刻t 的温度 du 为 u = u ( t )， 则温度的变化率以 来表示，因物体将
第八章 常微分方程
8/16
二、微分方程的基本概念
预备 知识
主要问题——求方程的解
目的 要求
重点 难点
复习 指导
2、微分方程的解 定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式 的函数，都叫做该方程的解. 微分方程的解的分类： 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解 为该方程的通解 当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解， 称为方程的特解.
重点 难点
复习 指导
量之间关系的等式．这样的等式就是微分方程．1676 年詹姆士．贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程， 直到十八世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科 . 微分方程建立后，立即成为研究、了解和知晓现实世
课堂 练习
界的重要工具． 1846年,数学家与天文学家合作，通过 求解微分方程，发现了一颗有名的新星——海王星．
二、微分方程的基本概念
预备 知识
3、初始条件 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般称
为初始条件. 一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为 初值问题. 求解某初值问题，就是求方程的特解.
目的 要求
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
说明
dy 引例2 是求方程 dt 0.03 y 满足初始条件
y t 0 10000 的解
0.03t
可解得
0.03t
7/16
C 10000
于是帐户中的余额所满足的方程为：
y 10000 e
第八章 常微分方程
二、微分方程的基本概念
1、微分方程
预备 知识
定义1 凡含有未知函数导数(或微分)的方程，称为微 分方程。 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数， 称为微分方程的阶.
二阶的 d 2
d ( u 25) u 25
重点 难点
= - kdt
1
复习 指导
两边积分，得 ln(u – 25) = -kt + c1 kt c 令 ec1 =c，即得 由对数有定义，得 (u – 25) = e u=25 + c e 当 t = 0时，u =u0 代入左式得 c = u0-25=150-25=125 由此 u=25 + 125 e
0.03t C1
e e0.03t
C1
目的 要求
y e e
C1
0.03t
c1 C e 如果设任意常数
就得到：
重点 难点
y Ce
0.03t
因为最初存入的是1万元，所以
复习 指导
y t 0 10000 即 y 0 10000
将此条件代入
课堂 练习
y Ce
du 随时间而逐渐冷却， 故温度变化率dt du 立起函数u( t )满足的微分方程 dt
目的 要求
重点 难点
复习 指导
课堂 练习
dt
恒负，由此可建
= -k(u – 25)
第八章 常微分方程
4/16
一、引例
引例1 物体冷却过程的数学模型
预备 知识
du dt
= -k(u – 25)
目的 要求
为了决定物体的温度u和时间t的关系，将上式改写成
预备 知识
目的 要求
重点 难点
一、引例 二、微分方程的基本概念
复习 指导
三、小结
课堂 练习
第八章 常微分方程
1/16
背
预备 知识
景
函数是反映客观世界运动过程中量与量之间的
目的 要求
一种关系，寻求函数关系在实践中具有重要意义。许 多实际问题，往往不能直接找出需要的函数关系，却
比较容易列出表示未知函数及其导数(或微分)与自变
第八章 常微分方程
10/16
二、微分方程的基本概念
预备 知识
目的 要求
例1 设一物体从Ａ点出发作直线运动，在任一时 刻的速度大小为运动时间的两倍．求物体的运动方程． 解 设物体的运动方程为 s s( t ) 由题意，知 s(t ) 2t