左边 Ce x 2Ce x Ce x 0 右边 ∴ y Ce x 是原方程的解. (2) y xe x , y e x xe x (1 x)e x
y e x (1 x)e x (2 x)e x 代入原方程： 左边 (2 x)e x 2(1 x)e x xe x
微积分十①
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例2 求通解： xdx ydy
解：两边积分得： xdx ydy
1 x2 1 y2 1 C
2
22
故原方程的通解为： x2 y2 C
结论1: 通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.
微积分十①
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2.2、可分离变量的微分方程
⑴形式： dy f ( x)g( y) dx
y xe x ——特解
y Ce x ——既非通解，也非特解，是个解。 y 0 ——奇解（但不是特解，不研究）
微积分十①
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3.2、通解与特解 ⑴ 通解： 微分方程的解中含有任意常数，这些常数
相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的 阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。 ⑵ 特解：确定了通解中任意常数的解。
ln y ln C x
yC x
微积分十①
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例4 求方程
解： dy dx
y
x(1
1 y2
xy(1
1

x12)满y足2 初始条件y(1)=2的特解.
x2) y
分离变量
y 1 y2
dy

1 x(1
1 x2 ) dx ( x

1
x x
2
)dx
积分得： 1 ln(1 y2 ) ln x 1 ln(1 x2 ) 1 ln C
正规型
如： dy f ( x, y) F ( x, y) dx g( x, y)
下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及 解法,包括：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、 线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。
微积分十①
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2.1、已分离变量的微分方程
⑴形式： f (x)dx g( y)dy 或 f1(x)dx f2( y)dy 0
2
2
2
故通解为: (1 x2 )(1 y2 ) Cx2
将x=1,y=2代入通解 得：C=10 故所求特解为： (1 x2 )(1 y2 ) 10x2
微积分十①
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例5 已知某商品的需求量Q对价格p的弹性为ep=-0.02p,
且该商品最大需求量为240,求需求函数Q=Q(p).
y C1e x C2e x C2e x C2 xe x (C1 2C2 )e x C2 xe x 代入原方程： 左边 (C1 2C2 )e x C2 xe x 2(C1 C2 )e x 2C2 xe x
C1e x C2 xex 0 右边 ∴解的y线性C1组e x合也C2是xe解x 是均原何为方y区=解程0别，也？的有是解解. 。
故 f ( x) 2(e x 1)
注：⑴积分方程求导后化为微分方程; ⑵注意隐条件.
微积分十①
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3.1、齐次方程的引入
⑴复习:证明函数⑴f(x,y)=50xy2;
⑵
f(x, y)

x x
y y
都是齐次函数,并说明是几次齐次函数.
解：⑴∵f(tx,ty)=50(tx)(ty)2=50t3xy2=t3f(x,y)
即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分
离在等式两边（或已分离开来）. ⑵解法：直接积分。
例1、求通解：(2x 1)dx dy 0
解：两边积分 (2x 1)dx dy 0dx
x2 x y C1 故原方程的通解为： y x2 x C (C C1 )
微积分十①
微 Basic concept of differential equations
积
分
电 一、一阶微分方程的形式
子
教 二、可分离变量的微分方程
案
三、齐次方程
四、一阶线性微分方程
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⑴一般形式: F(x, y, y ) =0
⑵正规型: y= f( x, y )
可化为
⑶微分型: f(x,y)dx+g(x,y)dy=0
由题意得：dy 2x，且x 1, y 2 dx
两边对x求积分：

dydx dx


2
xdx
即 y=x2+C
将x=1,y=2代入，得：2=1+C
即 C=1 故所求曲线为：y=x2+1
微积分十①
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2.1、微分方程 定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。
方
程代微数分方方程程------未未知知的的是是一一个个数函, 求数,x求y?,
故原方程的通解为
y x
微积分十①
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说明: ⑴在解微分方程时,对形如

1 x
dx

1 y
dy
…
积分,可直接得lnx,lny,…不必加绝对值；
⑵若积分后出现对数,则可将任意常数写成
lnC 的形式,以利化简.
例3 解题过程可简化为：
先分离变量：1 dy 1 dx
y
x
再两边积分 ln y ln x lnC
M2(x)
N1( y)
微积分十①
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例3 解微分方程 dy y
dx x
解:先分离变量， 1 dy 1 dx
y
x
再两边积分

1 y
dy


1 x
dx
ln y ln x C1 ln xy C1
xy eC1 C2
C
xy C2 C
C
y x
特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解
称为定解条件，也称为初始条件
一般地，n阶微分方程就有n个定解条件
微积分十①
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求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解
中任意常数的值，可得特解。
如引例 dy 2x dx
求解得： y x2 C,
微分方程 微分方程的通解
由 x 1时, y 2 求得C 1,
t0
dt t0
解
dx dt 2C1 sin 2t 2C2 cos 2t,
d2x dt2 4C1 cos 2t 4C2 sin 2t,
将
d2 dt
x
2
和x的
表达式
代
入原方
程,
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4(C1 cos2t C2 sin2t) 4(C1 cos2t C2 sin2t) 0.
定解条件
所求曲线方程为 y x2 1 .
微分方程 的特解
微积分十①
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3.3、微分方程解的几何意义
解的图像: 微分方程的积分曲线. 通解的图像: 积分曲线族.
初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.
一阶:
y f (x, y)

y
x
x0

y0
过定点的积分曲线;
二阶:
0 右边
∴ y xe x 是原方程的解.
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例1 验证下列函数都是微分方程 y －2y+y=0 的解.
(1) y Ce x; (2) y xe x; (3) y C1e x C2 xe x . 解: (3) y C1e x C2 xe x ,
y C1e x C2e x C2 xe x (C1 C2 )e x C2 xe x
y f ( x, y, y)

y
x

x0

y0 ,
yx x0

y0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例3 验证:函数 x C1 cos 2t C2 sin2t 是微分
方程
d2x dt 2

4x

0
的解.
并求满足初始条件
x 2, dx 0 的特解.
一阶微分方程
y 3 y y sin x 二阶微分方程 n阶微分方程的一般形式为：
F(x，y，y，y，…，y(n))=0
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2.3、微分方程的分类 分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
分类2: 一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
y? ?( x)
微积分十①
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2.1、微分方程
定义1 含有未知函数的导数(或微分) 的方程。
如：( x2 y2 )dx y dy 0 x
y 3xy 5 dy x y dx x y
未知函数是一元 函数的微分方程 常微分方程
y 3 y y sin x
或 M1( x)N1( y)dx M2( x)N2( y)dy 0
⑵解法：先分离变量，再两边积分即可。
1 dy f ( x)dx g( y)

1 g( y)
dy


f
( x)dx
M1( x) dx N2( y) dy 0
M2(x)
N1( y)
M1( x) dx N2( y) dy 0dx
故 x C1 cos 2t C2 sin2t 是原方程的解.