绝密★启用前
2020年银川九中、石嘴山三中、平罗中学三校联考
（理科）数学试卷
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{1,1},A =-2{|20,}B x x x x Z =+-<∈，则U A B =
A. {1}-
B. {1,1}-
C. {1,0,1}-
D. {1,0,1,2}-
2.若a 为实数，则复数()()1z a i ai =++在复平面内对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．实轴上
D ．虚轴上
3.已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a β⊂，b αβ=I ，则“//a α”是“//a b ”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则α2cos 等于 A ．-5 B ．-5C ．5 D ．5
5.在Rt ABC ∆中，D 为BC 的中点，且AB 6AC 8==，，则BC AD ⋅的值为
A 、28-
B 、28
C 、14-
D 、14
6.如图所示,虚线部分是四个象限的角平分线,实线部分是函数)(x f y =的部分图象,则)(x f 可能是
A ．x x sin
B ．x x cos
C ．x x cos 2
D ．x x sin 2
7. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为
A ．516
B ．1132
C ．716
D ．1332 8.将函数)42sin(2)(π+
=x x f 的图象向右平移ϕ(ϕ>0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩短到原来的1
2倍,所得图象关于直线4π
=x 对称,则ϕ的最
小正值为 A ．π8 B ．3π8 C ．3π4 D ．π2
9.设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2n n n a S +=，()*2122N n b n n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前99项和为
A ．9798
B ．9899
C ．99100
D ．100101 10.已知函数()|ln |f x x =，若0a b <<.且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是
A ．(22,)+∞
B ．)22,⎡+∞⎣
C ．(3,)+∞
D ．[
)3,+∞ 11.F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若2AF FB =u u u r u u u r
，则C 的离心率是 A ．233B ．143
C ．2
D ．2 12.设函数)(x f (x ∈R)满足)()(x f x f =-,)2()(x f x f -=,且当x ∈[0,1]时,3)(x x f =.又函数
|)cos(|)(x x x g π=,则函数)()()(x f x g x h -=在[-12,32
]上的零点个数为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.71()7x x -的展开式的第3项为 14.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立
夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为
15.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满6BA BC ==
，2ABC π∠=，
若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为
16.如图所示,已知椭圆E 经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率e=12.直线l 是∠F 1AF 2的平分线，则椭圆E 的方程是 ,l 所在的的直线方程是
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。
17. (本小题满分12分)
如图，CM ，CN 为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN =120°，现拟在两条木栈道的A ，B 处设置观景台，
记BC =a ，AC =b ，AB =c （单位：百米）
（1）若a ，b ，c 成等差数列，且公差为4，求b 的值；
（2）已知AB =12，记∠ABC =θ，试用θ表示观景路线A -C -B 的长，
并求观景路线A -C -B 长的最大值．
18. (本小题满分12分)
如图，在三棱柱111ABC A B C AB -⊥中，侧面111,BCC B AC AB =． (1)求证：平面1ABC ⊥平面1AB C ；
(2)若12,60AB BC BCC ==∠=o ，求二面角11B AC B --的余弦值．
19.(本小题满分12分)
绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金
额．分组如下：[0,20)，[20,40)，L [100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）．
（2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为
“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否
有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？
（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每
满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为12,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水
果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
附：参考公式和数据：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.临界值表： 0k
2.072 2.706
3.841 6.635 7.879 20()P K k ≥ 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
20.(本小题满分12分)
已知抛物线：
上一点到其焦点的距离为10.
（1）求抛物线的方程；
（2）设过焦点的直线与抛物线交于，两点，且抛物线在，两点处的切线分别交轴于，两
点，求的取值范围. 21.(本小题满分12分)
已知函数2
()x f x e ax =-，其中常数a R ∈． （1）当(0,)x ∈+∞时，不等式()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若1a =，且[0,)x ∈+∞时，求证：2
()414f x x x >+-． 水果达人 非水果达人 合计
男 10 女 30 合计
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程是cos x y ϕϕ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，设射线OA ：02πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝
⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）求OA OB ⋅的最小值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数|1|||)(++=x x x f .
（1）若|1|)(-≥m x f 恒成立，求实数m 的最大值M ；
（2）在（1）成立的条件下，正数b a ,满足M b a =+22，证明：ab b a 2≥+.。