石嘴山三中 2020 届第三次模拟考试理科数学能力测试第I卷一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，则A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，所以，故选 B.2.若复数 z 满足 A. 【答案】A 【解析】 设（为虚数单位），则B.C.，则，即义可得，解得，所以，故D.，由复数相等的定 ，故选 A.3.设 的内角 A. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用已知求得的对边分别为 ,若 B.C. 2， ，再利用正弦定理即可求得，即可求得 ，再利用余弦定理即可求解。

【详解】因为，所以且且 ，则 （ ） D.,可得 或，结合由正弦定理可得：，即：解得：，所以 或当 时，，此时 ，与 矛盾，所以 舍去.当时，由余弦定理可得： 所以 故选：C 【点睛】本题主要考查了正弦定理及三角函数求值，还考查了余弦定理及分类思想，考查计 算能力，属于中档题。

4.已知菱形边长为 ，，则A.B.C.D.【答案】D 【解析】 试题分析：由题意得，设考点：向量 数量积的运算. 【此处有视频，请去附件查看】，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知 ，故选 D.的 5.已知正三角形 的边长为 ，那么A.B.【答案】D 【解析】的平面直观图 C.的面积为（ ） D.的 试题分析：由原图和直观图面积之间的关系，求出原三角形的面积，再求直观图的面积即可． 正三角形 ABC 的边长为 a，故面积为 ，而原图和直观图面积之间的关系观图的面积为考点：斜二测画法，故选 D.，故直6.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又由双曲线的渐近线互相垂直，所以 ，进而可求解双曲线的方程，得到答案。

【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双 曲线的标准方程和简单的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算 能力，属于基础题。

7.从 1，2，3，4，5 中任取 2 个不同的数，事件 “取到的 2 个数之和为偶数”，事件到的 2 个数均为偶数”，则（）“取A.B.C.D.【答案】B 【解析】两个数之和为偶数，则这两个数可能都是偶数或都是奇数，所以。

而，所以 【此处有视频，请去附件查看】，故选 B8.三棱锥 P-ABC 中，PA⊥面 ABC，PA=2，AB=AC= ，∠BAC=60°，则该棱锥的外接球的表面积是A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可得， 为等边三角形，边长为面 ，则该三棱锥的外接球是以 为底面， 为高的三棱柱的外接球的外接圆半径为，则球心到面 外接圆圆心的距离为 ，故外接球该棱锥的外接球的表面积 故选9.袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球， 直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利 用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的随机数，分别用 0，1，2，3 代表“中、国、美、丽” 这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下 18 组随机 数： 232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】 从 18 组随机数中，找到恰好第三次就停止的有 4 组，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】因为随机模拟产生 18 组随机数， 由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有：， ， ， 共 4 个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为，故选 C.【点睛】本题主要考查随机数的应用以及古典概型概率公式，属于中档题. 在解答古典概型 概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数 ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.10.已知椭圆的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线交椭圆 于 两点．若，点 到直线的距离不小于 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析：设 是椭圆的左焦点，由于直线从而是平行四边形，所以过原点，因此 两点关于原点对称，，即， ，设，则，所以， ，即，又，所以，．故选 A．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是 ，从而得 ，于是只有由点到直线的距离得出 的范围，就得出的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．【此处有视频，请去附件查看】11.将函数图象关于点 对称，则函数A.B.【答案】D 【解析】图象向左平移 个单位后，得到函数的在上的最小值是C.D.将函数 向左平移 个单位后，得到函数解析式为：图象关于点对称则对称中心在函数图象上，可得：解得，，，则函数 故选在上的最小值为12.设函数（ ， 为自然对数的底数）,定义在 上的函数 满足，且当 时，．若存在，且 为函数的一个零点，则实数 的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数，由题意判断出函数 的奇偶性，再对函数 求导，判断其单调性，进而可求出结果.【详解】构造函数，因为，所以，所以 为奇函数， 当 时， 所以 在 R 上单调递减.，所以 在上单调递减，因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为 为函数的一个零点，所以 在 时有一个零点因为当 时，，所以函数 在 时单调递减，由选项知 ，，又因为，所以要使 在 时有一个零点，只需使，解得，所以 a 的取值范围为，故选 D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.若二项式的展开式中的常数项为 ，则 =．【答案】2 【解析】 【分析】 先根据二项式定理的通项公式列出常数项，建立等量关系，解之即可求出 a.【详解】令 3﹣r＝0， ∴r＝3，常数项为﹣C63a3＝﹣20a3＝﹣160， ∴a3＝8，a＝2. 故答案为：2. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由 特定项得出值，最后求出其参数.14.已知，【答案】3 【解析】试题分析：，则 的值为．考点：两角和差的正切公式 【此处有视频，请去附件查看】15.已知圆锥的顶点为 ，底面圆周上的两点 、 满足 为等边三角形，且面积为 ，又 知圆锥轴截面的面积为 8，则圆锥的表面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据等边 面积为 ，求母线长，再根据轴截面的面积为 8，求得底面半径，最后根据 圆锥侧面积公式以及底面积求圆锥的表面积.【详解】因为等边 面积为 ，所以，因为轴截面的面积为 8，所以，从而圆锥 表面积为【点睛】本题考查圆锥侧面积公式以及轴截面，考查基本分析求解能力.属基本题.的 16.已知数列 满足，且点在直线上．若对任意的，恒成立，则实数 的取值范围为______．【答案】 【解析】 【分析】 将点代入直线可得：，即可求得，即可得：，问题得解。

【详解】将点代入直线可得：.所以数列 所以是以为首项，公差为 的等差数列.所以 当且仅当 要使得时，等号成立恒成立，则所以 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及不等式的性质，还考查了方程思想及转化思 想，考查化归能力，属于中档题。

三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.设数列 前 n 项和为 ，且满足 ，．Ⅰ试确定 r 的值，使 Ⅱ在Ⅰ的条件下，设为等比数列，并求数列 的通项公式； ，求数列 的前 n 项和 ．【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知令 n=1 即可求得；当 n≥2 时，，与已知式作差得，即从 而 可 知 欲 使 {an} 为 等 比 数 列 ， 则，从而可求出 r 的值，进而可写出数列{an}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，从而，按 n 小于 6 和大于等于 6 讨论可求出数列 的前 n 项和 Tn．试题解析：（Ⅰ）解：当 n = 1 时，1分当 n≥2 时，，与已知式作差得，即欲使{an}为等比数列，则，又，∴5分故数列{an}是以 为首项，2 为公比的等比数列，所以6分（Ⅱ）解：，若，9分若,，∴考点：1．等比数列的概念及通项公式；2．等差数列的前 n 项和.12 分18.我国 2020 年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众 的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为 ，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为 .某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了 4 名观众（其中 2 男 2 女）.（1）求这 4 名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率； （2）设表示这 4 名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.【答案】（1） （2）见解析【解析】 【分析】 设 表示 2 名女性观众中认为好看的人数， 表示 2 名男性观众中认为好看的人数，则，.(1) 设事件 表示“这 4 名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则 ,从而可得结果；(2)的可能取值为 0，1，2，3，4，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望. 【详解】设 表示 2 名女性观众中认为好看的人数， 表示 2 名男性观众中认为好看的人数，则，.（1）设事件 表示“这 4 名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则 ,.（2）的可能取值为 0，1，2，3，4，，，=，, ， , ，，∴的分布列为01234∴.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为： 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几 何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等）， 求出随机变量取每个值时的概率； 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布 列或事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些 实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 X～B(n，p))， 则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.19.如图，在四棱锥 且中， 平面，，四边形 满足，点 为 的中点，点 为 边上的动点，且.（1）求证：平面平面 ；（2）是否存在实数 ，使得二面角余弦值为 ？若存在，试求出实数 的值；若不存在，说明理由.的 【答案】（1）证明见解析；（2） 或 .【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接，先证明四边形为平行四边形，再证明平面 ，进而可得平面平面 ；（2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量，结合平面 一个法向量为，利用空间向量夹角的余弦公式列出关于 的方程即可求解.试题解析：（1）取 中点 ，连接，∵ 是 的中点， 是 的中点，∴．的 又∵，∴，∴四边形为平行四边形．∵，∴ 平面 ，∴，∴，∵，∴，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴平面平面 ．（2）存在符合条件的 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为轴建立空间直角坐标系，则，设，从而，则平面一个法向量为，的又平面 即为平面 ，其一个法向量为，则，解得 或 ，故 或 ．考点：1、线面垂直与面面垂直的判定定理；2、空间向量夹角的余弦公式.20.在直角坐标系 中，直线与抛物线交于 ， 两点，且.（1）求 的方程；（2）试问：在 轴的正半轴上是否存在一点 ，使得 的外心在 上？若存在，求 的坐标；若不存在，请说明理由..【答案】（1）；（2）在 轴的正半轴上存在一点，使得 的外心在 上.【解析】【分析】（1）联立，得，利用，结合韦达定理列方程求得 ，从而可得结果；（2）求出线段 的中垂线方程.联立，得，解得或 ，从而 的外心 的坐标为 或，分别利用求得 的值，验证是否符合题意即可.【详解】（1）联立，得，则，，从而.，，即，解得 ，故 的方程为.（2）设线段 的中点为，由（1）知，，，则线段 的中垂线方程为，即.联立，得，解得或，从而 的外心 的坐标为 或.假设存在点，设 的坐标为 ，，，则.，.若 的坐标为，则，，则 的坐标不可能为.故在 轴的正半轴上存在一点，使得 的外心在 上.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、平面向量数量积的应用以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.21.已知函数，，．（1）求函数 （2）若的极值；在上为单调函数，求 的取值范围；（3）设，若在 上至少存在一个 ，使得成立，求 的取值范围．【答案】（1），无极大值；（2）；（3）.【解析】 【分析】（1）求得，即可判断 为函数 的极小值点，问题得解。