函数极限的定义
林芳 20101101903
数学科学学院 2010级（1）班
指导教师 韩刚
摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。

本文就给出二十四个函数极限的定义。

关键词 极限
1函数在一点的极限的定义
1.1函数在0x 点的极限的定义
设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。

如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为
A x f x x =→0
)(lim ,
或者记为 f(x)→A(x 0x →).
这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A.
1.2函数在点0x 右侧的极限的定义
设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。

如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<x-x 0<δ时，有A x f -)(<ε，
我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为
0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A
或 f(x)→A (x 0x →+0)
这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。

1.3函数在0x 点左侧的极限的定义
设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。

如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为
0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A
或 f(x))0(0-→→x x A
这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在.
2函数在无限远处的极限
2.1函数在无限远处极限的定义
若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为
)
()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f A
f A x f x 或
这时也称函数f(x)在无限远处极限存在
2.2函数在正无限远处的极限的定义
若对任意给定的0>ε，存在X>0,当x>X 时，总有ε<-A x f )(，就称A 为f(x)在无限远处的极限，或者称A 是当+∞→x 时f(x)的极限，记为
A f A x f x =+∞=+∞
→)()(lim 或
或 f(x))(+∞→→x A
这时也称函数f(x)在正无限远处的极限存在。

2.3函数在负无限远处的极限的定义
若对任意给定的0>ε，存在X>0,当x<-X 时，总有ε<-A x f )(，就称A 为f(x)在负无限远处的极限，或者称A 是当+∞→x 时f(x)的极限，记为
A f A x f x =-∞=-∞
→)()(lim 或
或 f(x))(-∞→→x A
这时也称函数f(x)在负无限远处极限存在。

3函数在一点处函数值趋于无穷大
3.1函数在0x 点处函数值趋于无穷大的定义
如果对于任何G>0，存在δ>0，当0<G x f x x ><-)(0时，有δ,就说函数f(x)在0x 点趋于无穷大（或发散到无穷大）,记为
)(lim x x x f →=∞或f(x))(0x x →∞→
3.2函数在0x 点右侧函数值趋于无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在0>δ，当0<x-x δ<0时，有G x f >)(，就说函数f(x)在0x 点右侧趋于无穷大（或发散到无穷大），记为
0+→x x 3.3函数在0x 点左侧函数值趋于无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在G x f x x ><-<>)(0,00时，有当δδ,就说函数f(x)在0x 点左侧趋于无穷大（或发散到无穷大），记为
)0()()(lim 00
0-→∞→∞=-→x x x f x f x x 或
4函数在一点处函数值趋于正无穷大
4.1函数在0x 点处函数值趋于正无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在G x f x x ><-<>)(0,00时，有当δδ，就说函数f(x)在0x 点处趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为
)()()(lim 00
x x x f x f x x →+∞→+∞=→或
4.2函数在0x 点右侧函数值趋于正无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在0>δ，当0<x-x δ<0时，有f(x)>G,就说函数f(x)在0x 右侧趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为
)0()()(lim 00
0+→+∞→+∞=+→x x x f x f x x 或
4.3函数在0x 点左侧函数值趋于正无大穷的定义
如果对于任何G>0,存在,)(0,00G x f x x ><-<>时，有当δδ就说函数f(x)在0x 右侧趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为
0-→x x 5函数在一点处函数值趋于负无穷大
5.1函数在0x 点处函数值趋于负无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在G x f x x -<<-<>)(0,00时，有当δδ，就说函数f(x)在0x 点处趋于负无穷大（或发散到负无穷大），记为
)()()(lim 00
x x x f x f x x →-∞→-∞=→或
5.2函数在0x 点右侧函数值趋于负无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在,)(0,00G x f x x -<<-<>时，有当δδ就说函数f(x)在0x 右侧趋于正负穷大（或发散到负无穷大），记为
)0()()(lim 00
0+→-∞→-∞=+→x x x f x f x x 或
5.3函数在0x 点左侧函数值趋于负无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在,)(0,00G x f x x -<<-<>时，有当δδ就说函数f(x)在0x 右侧趋于负无穷大（或发散到负无穷大），记为
)0()()(lim 00
0-→-∞→-∞=-→x x x f x f x x 或
6函数在无限远处函数值趋于无穷大
6.1函数在无限远处函数值趋于无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >>)(时，有，就说函数在无限远处趋于无穷大（或发散到无穷大），记为
)()()(lim ∞→∞→∞=∞
→x x f x f x 或
6.2函数在正无限远处函数值趋于无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >>)(时，有，就说函数在正无限远处趋于无穷大（或发散到无穷大），记为
)()()(lim +∞→∞→∞=+∞
→x x f x f x 或
6.3函数在负无限远处函数值趋于无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >-<)(时，有，就说函数在负无限远处趋于无穷大（或发散到无穷大），记为
)()()(lim -∞→∞→∞=-∞
→x x f x f x 或
7函数在无限远处函数值趋于正无穷大
7.1函数在无限远处函数值趋于正无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >>)(时，有，就说函数在无限远处趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为
)()()(lim ∞→+∞→+∞=∞
→x x f x f x 或
7.2函数在正无限远处函数值趋于正无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >>)(时，有，就说函数在正无限远处趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为
)()()(lim +∞→+∞→+∞=+∞
→x x f x f x 或
7.3函数在负无限远处函数值趋于正无穷大的定义
如果对于任何G>0,存在X>0,当G x f X x >-<)(时，有，就说函数在负无限远处趋于正无穷大（或发散到正无穷大），记为
)()()(lim -∞→+∞→+∞=-∞
→x x f x f x 或
8函数在无限远处函数值趋于负无穷大。