高中数学考试技巧第1讲 五种策略搞定所有选择题[题型解读] 选择题是高考试题的三大题型之一，该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一道题几乎都有两种或两种以上的解法．正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力．选择题也在尝试创新，在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交汇”等四个维度上不断出现新颖题，这些新颖题成为高考试卷中一道靓丽的风景线．方法一 直接法直接从题设条件出发，利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果，即“小题大做”，选择正确答案，这种解法叫直接法．直接法是解答选择题最基本的方法，绝大多数选择题都适宜用直接法解决．它的一般步骤是：计算推理、分析比较、对照选择．直接法又分定性分析法、定量分析法和定性、定量综合分析法．例1 若△ABC 的内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－43 C ．1 D.23答案 A解析 由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2＋2ab －c 2＝4， 由C ＝60°，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4－2ab 2ab ＝12.解得ab ＝43.拓展训练1 已知m1＋i ＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i答案 C解析 由m1＋i＝1－n i ，得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，根据复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴m ＋n i ＝2＋i ，故选C. 方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)，是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24) 答案 C解析 方法一 不妨设0<a <1<b ≤10<c ，取特例， 如取f (a )＝f (b )＝f (c )＝12，则易得a ＝1012-，b ＝1012，c ＝11，从而abc ＝11，故选C.方法二 不妨设a ，b <c ，则由f (a )＝f (b )⇒ab ＝1， 再根据图象易得10<c <12.实际上a ，b ，c 中较小的两个数互为倒数． 故abc 的取值范围是(10,12)．拓展训练2 已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos B sin C ·AB →＋cos C sin B ·AC →＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32B.2 C ．1 D.12答案 A解析 如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. 方法三 排除法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论． 例3 设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是( ) A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 答案 D解析 ∵a >b >1，∴1a <1b .又c <0，∴c a >cb ，故结论①正确；函数y ＝x c (c <0)为减函数，又a >b ，∴a c <b c ，故结论②正确；根据对数函数的单调性，log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，故③正确． ∴正确结论的序号是①②③.拓展训练3 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A ．0<a ≤1 B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <0答案 C解析 当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a＝1时，x＝－1，排除B.方法四数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．例4设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1、x2，则()A．x1x2<0B．x1x2＝1C．x1x2>1D．0<x1x2<1答案D解析构造函数y＝10x与y＝|lg(－x)|，并作出它们的图象，如图所示，因为x1，x2是10x＝|lg(－x)|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x1，x2，不妨设x2<－1，－1<x1<0，则101x＝－lg(－x1)，102x＝lg(－x2)，因此102x－101x＝lg(x1x2)，因为102x－101x<0，所以lg(x1x2)<0，即0<x1x2<1，故选D.拓展训练4已知函数f(x)＝4x与g(x)＝x3＋t，若f(x)与g(x)的交点在直线y＝x的两侧，则实数t的取值范围是()A．(－6,0] B．(－6,6)C．(4，＋∞) D．(－4,4)答案B解析根据题意可得函数图象，g(x)在点A(2,2)处的取值大于2，在点B(－2，－2)处的取值小于－2，可得g(2)＝23＋t＝8＋t>2，g(－2)＝(－2)3＋t＝－8＋t<－2，解得t∈(－6,6)，故选B.方法五估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次． 例5 若D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x＋y ＝a 扫过D 中的那部分区域的面积为( ) A.34B ．1C.74D ．2 答案 C解析 如图知所求区域的面积是△OAB 的面积减去Rt △CDB 的面积，所求的面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C.拓展训练5 (2013·湖南)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A ．1B.2C.2－12 D.2＋12答案 C解析 由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.1．已知函数f (x )对任意的实数x ，满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2)答案 D解析 由f (x )＝f (π－x )，可知函数f (x )的对称轴为x ＝π2.当x ∈(－π2，π2)时，f (x )＝x ＋sin x ，故f ′(x )＝1＋cos x >0，所以函数f (x )在(－π2，π2)上单调递增，在(π2，3π2)上单调递减． 因为|3－π2|>|1－π2|>|2－π2|，所以f (3)<f (1)<f (2)．故选D. 2.设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |1≤x <2} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |x ≤1}答案 B解析 A ＝{x |2x (x －2)<1}＝{x |0<x <2}， B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |x <1}．由题图知阴影部分是由A 中元素且排除B 中元素组成， 得1≤x <2.故选B. 3．函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A ．[－22，0] B ．[－1,0] C ．[－2，－1] D ．[－33，0] 答案 B解析 令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.4．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K ，取函数f (x )＝2－|x |.当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)答案 C解析 当K ＝12时，f K (x )＝f 12(x )＝⎩⎨⎧2－|x |，2－|x |≤12，12，2－|x |>12，即f 12(x )＝⎩⎨⎧(12)|x |，|x |≥1，12，|x |<1，f 12(x )的图象如图． 由图象可知，所求单调递增区间为(－∞，－1)．5．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A ．[1－22，1＋22] B ．[1－2，3] C ．[－1,1＋22] D ．[1－22，3]答案 D 解析 y ＝3－4x －x 2变形为(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4,1≤y ≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示． 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，只需直线y ＝x ＋b 在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y ＝x ＋b 与下半圆相切时，圆心到直线y ＝x ＋b 的距离为2，即|2－3＋b |2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，所以b 的取值范围为1－22≤b ≤3.故选D.6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率为( ) A.53B.23C.22D.59答案 A解析 如图所示，设线段PF 1与圆切于点M ， 则|OM |＝b ，|OF 1|＝c ， 故|MF 1|＝c 2－b 2，所以|PF 1|＝2|MF 1| ＝2c 2－b 2.又O 为F 1F 2的中点，M 为PF 1的中点， 所以|PF 2|＝2|OM |＝2b . 由椭圆的定义，得2c 2－b 2＋2b ＝2a ，即c 2－b 2＝a －b . 即2c 2－a 2＝a －a 2－c 2，也就是2e 2－1＝1－1－e 2，两边平方，整理得3e 2－3＝－21－e 2.再次平方，整理得9e 4－14e 2＋5＝0， 解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，故e ＝53.故选A. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( )A.m －39－mB.m －3|9－m |C.13 D ．5答案 D解析 利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值，再根据半角公式求tan θ2，但运算较复杂，试根据答案的数值特征分析．由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一个确定的值，进而推知tan θ2也为一个确定的值，又π2<θ<π，因而π4<θ2<π2，故tan θ2>1.8．(2013·课标全国Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案 B解析 因为b 1>c 1，不妨设b 1＝4a 13，c 1＝2a 13；故S 1＝3a 12·a 12·a 16·5a 16＝1512a 21； a 2＝a 1，b 2＝23a 1＋a 12＝56a 1，c 2＝43a 1＋a 12＝76a 1，S 2＝3a 12·a 12·2a 13·a 13＝66a 21. 显然S 2>S 1；a 3＝a 1，b 3＝76a 1＋a12＝1312a 1，c 3＝56a 1＋a 12＝1112a 1，S 3＝3a 12·a 12·5a 112·7a 112＝10524a 21，显然S 3>S 2. 所以，可知{S n }为递增数列．9．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1答案 D解析 依题意，f (x )向右平移一个单位长度之后得到的函数是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移一个单位的结果，所以f (x )＝e －x －1.10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A ．1B.32C ．2D ．3答案 C解析 由c a ＝2(c 为半焦距)，则ba＝3，即双曲线两条渐近线的倾斜角分别为60°和120°， 所以△AOB 面积为3p 24，所以3p 24＝3，所以p ＝2为所求．11．(2014·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b －7＝0，4a －b －13＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11，所以f (－1)＝c －6，所以0<c －6≤3，解得6<c ≤9，故选C.12．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4B.17－1C ．6－22D.17 答案 A解析 作圆C 1关于x 轴的对称圆C ′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1， 则|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|，由图可知当C 2、M 、P 、N ′、C ′1在同一直线上时，|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|取得最小值，即为|C ′1C 2|－1－3＝52－4.13．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cosπx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 C解析 由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cosπx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cosπx ，令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)，h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1， －2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12 |x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|关于x ＝1对称，又x ＝1也是函数h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cosπx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.14．设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点答案D解析－f(－x)是f(x)的图象关于原点作变换，(x0，f(x0))是极大值点，那么(－x0，－f(－x0))就是极小值点．15．在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A．(－2,1) B．(1,2)C．(2,1) D．(－1,2)答案B解析如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D，故选B.。