选择题的解题方法与技巧题型特点概述选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．解题方法例析题型一 直接对照法直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．例1 设定义在R 上的函数f(x)满足f(x)•f(x ＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于( C )A ．13B ．2C.132 D.213思维启迪: 先求f(x)的周期． 解析 ∵f (x ＋2)＝13f (x )，∴f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x )．∴函数f (x )为周期函数，且T ＝4. ∴f (99)＝f (4×24＋3)＝f (3)＝13f (1)＝132.探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法 时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f(x)是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．变式训练1 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为( D )A ．5B ．－5C.15D ．－15解析 由f (x ＋2)＝1f (x )，得f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的函数，所以f (5)＝f (1)＝－5，从而f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f (－1＋2)＝1f (1)＝－15.例2 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( D ) A.54B ．5C.52D.5思维启迪: 求双曲线的一条渐近线的斜率即ba 的值，尽而求离心率． 解析 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立⎩⎨⎧y ＝kx y ＝x 2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即ba ＝2，故双曲线的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋(b a )2＝ 5.探究提高 关于直线与圆锥曲线位置关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率． 变式训练2已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( B ) A ．aB ．bC.abD.a 2＋b 2解析 x 2a 2－y 2b 2＝1的其中一条渐近线方程为：y ＝－ba x ，即bx ＋ay ＝0，而焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离d ＝|b ×a 2＋b 2|a 2＋b2＝b .故选B题型二 概念辨析法概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔容易，但稍不留意则易误入命题者设置的“陷阱”．例3 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，给出下列条 件，①a ＝k b (k ∈R)；②x 1x 2＋y 1y 2＝0；③(a ＋3b )∥(2a －b )；④a ·b ＝|a ||b |；⑤x 21y 22＋x 22y 21≤2x 1x 2y 1y 2.其中能够使得a ∥b 的个数是( D ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析 显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条件；③是正确的，因为由(a ＋3b )∥(2a －b )，可得(a ＋3a )＝λ(2a －b )，当λ≠12时，整理得a ＝λ＋32λ－1b ，故a ∥b ，当λ＝12时也可得到a ∥b ；④是正确的，若设两个向量的夹角为θ，则由a ·b ＝|a ||b |cos θ，可知cos θ＝1，从而θ＝0，所以a ∥b ；⑤是正确的，由x 21y 22＋x 22y 21≤2x 1x 2y 1y 2，可得(x 1y 2－x 2y 1)2≤0，从而x 1y 2－x 2y 1＝0，于是a ∥b .探究提高 平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线向量． 变式训练3关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3.③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为 60°.则假命题为( B ) A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③解析 ①a ·b ＝a ·c ⇔a ·(b －c )＝0，a 与b －c 可以垂直，而不一定有b ＝c ，故①为假命题．②∵a∥b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题．③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60°，a＋b为其对角线上的向量，a 与a＋b夹角为30°，故③为假命题．题型三数形结合法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论．例4 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为( C) A．4 B．5 C．6 D．7思维启迪:画出函数f(x)的图象，观察最高点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂．解析由题意知函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．变式训练4 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{}(x ，y )|y ＝3x ，则A ∩B 的子集的个数是 ( A )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 集合A 中的元素是椭圆x 24＋y 216＝1上的点，集合B 中的元素是函数y ＝3x 的图象上的点．由数形结合，可知A ∩B 中有2个元素，因此A ∩B 的子集的个数为4.例5 函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数是 ( C) A ．0B ．1C ．2D ．3思维启迪:．若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，而函数y ＝f (x )和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数确定相应方程的根的个数．解析 方程f (x )·2x＝1可化为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示．可以发现其图象有两个交点，因此方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x有两个实数根．变式训练5 函数y ＝|log 12x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值是 ( D )A ．2B.32C ．3D.34解析 作出函数y ＝|log 12x |的图象，如图所示，由y ＝0解得x ＝1；由y ＝2，解得x ＝4或x ＝14.所以区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为1－14＝34.题型四 特例检验法特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等． 特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例6 已知A 、B 、C 、D 是抛物线y 2＝8x 上的点，F 是抛物线的焦点，且FA →＋FB →＋FC →＋FD →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|的值为 ( D )A ．2B ．4C ．8D ．16解析 取特殊位置，AB ，CD 为抛物线的通径，显然F A →＋FB →＋FC →＋FD →＝0， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|＝4p ＝16，故选D.探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位置法，则简便易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．变式训练6 已知P 、Q 是椭圆3x 2＋5y 2＝1上满足∠POQ ＝90°的两个动点，则1OP 2＋1OQ 2等于 ( B )A ．34B ．8C.815D.34225解析 取两特殊点P (33，0)、Q (0，55)即两个端点，则1OP 2＋1OQ 2＝3＋5＝8.故选B例7 数列{a n }成等比数列的充要条件是 ( B ) A ．a n ＋1＝a n q (q 为常数)B ．a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2≠0C ．a n ＝a 1q n －1(q 为常数)D ．a n ＋1＝a n ·a n ＋2解析 考查特殊数列0,0，…，0，…，不是等比数列，但此数列显然适合A ，C ，D 项．故选B.探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看a n ＋1a n 是否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立． 变式训练7 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2n a n ＝4n －12n －1，则S 2nS n的值为( C ) A ．2 B ．3C ．4D ．8解析 方法一 (特殊值检验法)取n ＝1，得a 2a 1＝31，∴a 1＋a 2a 1＝41＝4，于是，当n ＝1时，S 2n S n ＝S 2S 1＝a 1＋a 2a 1＝4.方法二 (特殊式检验法)注意到a 2n a n ＝4n －12n －1＝2·2n －12·n －1，取a n ＝2n －1，S 2nS n ＝1＋(4n －1)2·2n 1＋(2n －1)2·n ＝4.方法三 (直接求解法)由a 2n a n ＝4n －12n －1，得a 2n －a n a n ＝2n 2n －1，即nd a n ＝2n 2n －1，∴a n ＝d (2n －1)2，于是，S 2nS n ＝a 1＋a 2n2·2na 1＋a n2·n＝2·a 1＋a 2na 1＋a n＝2·d 2＋d2(4n －1)d 2＋d2(2n －1)＝4. 题型五 筛选法数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论． 例8 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( C )A ．0<a≤1B ．a<1C ．a≤1D ．0<a≤1或a<0解析 当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B.故选C. 探究提高 选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键．对“至少有一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行．不但缩短时间，同时提高解题效率．变式训练8 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是( D )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析 令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝13适合，排除A 、B.令m ＝1，由f (x )＝0得：x ＝1适合，排除C. 题型六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例9若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为 ( C )A.34B ．1C.74D ．2解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C 项． 探究提高 “估算法”的关键是应该确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．变式训练9 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( D )A.169π B.83π C.4πD.649π解析 ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π，故选D. 规律方法总结1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力.知能提升演练1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩(∁N B )等于( A )A ．{1,5,7}B ．{3,5,7}C ．{1,3,9}D ．{1,2,3}解析 由于3∈∁N B ，所以3∈A ∩(∁N B )∴排除B 、C 、D ，故选A.2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么( D) A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析 当k ＝1时，c ＝a ＋b ，不存在实数λ，使得a ＝λb .所以c 与d 不共线，与c ∥d 矛盾．排除A 、B ；当k ＝－1时，c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，所以c ∥d ，且c 与d 反向．故应选D.3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( B )A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析 可用排除法，∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，∴y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D ，故选B.4．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( B )A ．(0,2)B ．(0,8)C ．(2,8)D ．(－∞，0)解析 当m ＝1时，f (x )＝2x 2－6x ＋1，g (x )＝x ，由f (x )与g (x )的图象知，m ＝1满足题设条件，故排除C 、D.当m =2时，f (x )=4x 2-4x +1,g (x )=2x ,由其图象知，m =2满足题设条件，故排除A.因此，选项B 正确．5．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( D )A ．[0，π4]B ．[5π12，π2]C ．[π4，5π12]D ．[π12，5π12]解析 ∵|CA →|=2，∴A 的轨迹是⊙C ，半径为2.由图可知∠COB ＝π4，设向量OA →与向量OB →的夹角为θ，则π4－π6≤θ≤π4＋π6，故选D.6．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( C )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析 函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1,＋∞),故在(－∞,－1)上是单调递增的,选C 项．7．设x ，y ∈R ，用2y 是1＋x 和1－x 的等比中 项，则动点(x ，y )的轨迹为除去x 轴上点的( D )A ．一条直线B ．一个圆C ．双曲线的一支D ．一个椭圆解析 (2y )2＝(1－x )(1＋x )(y ≠0)得x 2＋4y 2＝1(y ≠0)．8．设A 、B 是非空数集，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∈A ∩B }，已知集合A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x >0}，则A *B 等于( C )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1]D ．[0,2]解析 A ＝R ，B ＝(1，＋∞)，故A *B ＝(－∞，1]，故选C.9．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为 ( B ) A ．[3－23，＋∞) B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)解析 由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)， OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)． 令g (x )＝43x 2＋2x－1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3.10．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则( C ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 102<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51解析 取满足题意的特殊数列a n ＝0，则a 3＋a 99＝0，故选C.11．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为 (C )A ．4B ．6C ．8D ．10解析 令等差数列{a n }为常数列a n ＝16.显然a 7－12a 8＝16－8＝8.故选C. 12．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab >2中，正确的不等式是 (C )A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④解析 取a ＝－1，b ＝－2，则②、③不正确，所以A 、B 、D 错误，故选C. 13.如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( C )解析 观察并联想P 运动轨迹与d 的关系，当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当开始运动时d 递减，排除B.14．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋1－a ＋4a 的最小值等于3，则实数a 的值等于 (A )A. 34B ．1 C. 34或1D ．不存在这样的a解析 方法一 直接对照法令x 2x 2＋1＝t ，则t ∈[0,1)．若a ≥1，则f (x )＝|t －a |＋4a ＝5a －t 不存在最小值；若0≤a <1，则f (x )＝|t －a |＋4a ，当t ＝a 时取得最小值4a ，于是4a ＝3，得a ＝34符合题意；若a <0，f (x )＝|t －a |＋4a ＝t ＋3a ，当t ＝0时取得最小值3a ，于是3a ＝3，得a ＝1不符合题意．综上可知，a ＝34. 方法二 试验法若a ＝1，则f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋1－1＋4>4，显然函数的最小值不是3，故排除选项B 、C ；若a ＝34，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2x 2＋1－34＋3，这时只要令x 2x 2＋1－34＝0，即x ＝±3，函数可取得最小值3，因此A 项正确，D 项错误．15．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2<θ<π)，则tan θ2等于( D )A. m －39－mB ．|m －39－m|C. 13D ．5解析 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，故m 为一确定的值，于是sin θ，cos θ的值应与m 的值无关，进而tan θ2的值与m 无关，又π2<θ<π，π4<θ2<π2，∴tan θ2>1，故选D 项．16．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如下图，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )图象可能是( D )解析从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B项，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出y＝f(x)的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C两项，最后只有D项，可以验证y＝g(x)导函数是增函数，增加越来越快．。