2020年宁夏中考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（3分）（2020•宁夏）下列各式中正确的是（ ） A ．a 3•a 2＝a 6 B ．3ab ﹣2ab ＝1C ．6a 2+13a=2a +1D ．a （a ﹣3）＝a 2﹣3a【解答】解：A 、a 3•a 2＝a 5，所以A 错误； B 、3ab ﹣2ab ＝ab ，所以B 错误； C 、6a 2+13a=2a +13a，所以C 错误；D 、a （a ﹣3）＝a 2﹣3a ，所以D 正确； 故选：D ．2．（3分）（2020•宁夏）小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是3，众数是2B ．众数是1，平均数是2C ．中位数是2，众数是2D ．中位数是3，平均数是2.5【解答】解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2； 平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15＝2； 众数为2； 故选：C ．3．（3分）（2020•宁夏）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A ．14B ．12C ．35D ．34【解答】解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个， ∴能构成三角形的概率为1224=12，故选：B ．4．（3分）（2020•宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板，∠F ＝30°，∠C ＝45°，AB 与DE 相交于点G ，当EF ∥BC 时，∠EGB 的度数是（ ）A ．135°B ．120°C ．115°D ．105°【解答】解：过点G 作HG ∥BC ，∵EF ∥BC ， ∴GH ∥BC ∥EF ，∴∠HGB ＝∠B ，∠HGE ＝∠E ，∵在Rt △DEF 和Rt △ABC 中，∠F ＝30°，∠C ＝45° ∴∠E ＝60°，∠B ＝45°∴∠HGB ＝∠B ＝45°，∠HGE ＝∠E ＝60° ∴∠EGB ＝∠HGE +∠HGB ＝60°+45°＝105°故∠EGB的度数是105°，故选：D．5．（3分）（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（）A．13B．10C．12D．5【解答】解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∵DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD=2−122=5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．6．（3分）（2020•宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC=√2，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．1−π4B．π−14C．2−π4D．1+π4【解答】解：连接CD，如图，∵AB是圆C的切线，∴CD⊥AB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=√2AC=√2×√2=2，∴CD=12AB＝1，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF=12×√2×√2−90⋅π⋅12360＝1−π4．故选：A．7．（3分）（2020•宁夏）如图，函数y1＝x+1与函数y2=2x的图象相交于点M（1，m），N（﹣2，n）．若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣2或0＜x＜1B．x＜﹣2或x＞1C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1D．﹣2＜x＜0或x＞1【解答】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象之上时，所对应的x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞1，故答案为：﹣2＜x＜0或x＞1．故选：D．8．（3分）（2020•宁夏）如图2是图1长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝a2，S左＝a2+a，则S俯＝（）A．a2+a B．2a2C．a2+2a+1D．2a2+a【解答】解：∵S主=a2=a⋅a，S左=a2+a=a(a+1)，∴俯视图的长为a+1，宽为a，∴S俯=a⋅(a+1)=a2+a，故选：A ．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•宁夏）分解因式：3a 2﹣6a +3＝ 3（a ﹣1）2 ． 【解答】解：原式＝3（a 2﹣2a +1）＝3（a ﹣1）2． 故答案为：3（a ﹣1）2．10．（3分）（2020•宁夏）若二次函数y ＝﹣x 2+2x +k 的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 k ＞﹣1 ．【解答】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+2x +k 的图象与x 轴有两个交点， ∴△＝4﹣4×（﹣1）•k ＞0， 解得：k ＞﹣1， 故答案为：k ＞﹣1．11．（3分）（2020•宁夏）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是 23．【解答】解：列表得：4 5 6 4 9 10 5 9 11 61011共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种， ∴两次抽出数字之和为奇数的概率为46=23．故答案为：23．12．（3分）（2020•宁夏）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED ＝1寸，锯道长AB ＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是 26寸．【解答】解：由题意可知OE ⊥AB ， ∵OE 为⊙O 半径，∴AD =BD =12AB =12尺＝5寸， 设半径OA ＝OE ＝r ， ∵ED ＝1， ∴OD ＝r ﹣1，则Rt △OAD 中，根据勾股定理可得：（r ﹣1）2+52＝r 2， 解得：r ＝13， ∴木材直径为26寸； 故答案为：26．13．（3分）（2020•宁夏）如图，直线y =52x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A 1O 1B ，则点A 1的坐标是 （4，125） ．【解答】解：在y =52x +4中，令x ＝0得，y ＝4， 令y ＝0，得0=52x +4，解得x =−85， ∴A （−85，0），B （0，4），由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B ，∠ABA 1＝90°，∴∠ABO ＝∠A 1BO 1，∠BO 1A 1＝∠AOB ＝90°，OA ＝O 1A 1=85，OB ＝O 1B ＝4， ∴∠OBO 1＝90°， ∴O 1B ∥x 轴，∴点A 1的纵坐标为OB ﹣OA 的长，即为4−85=125； 横坐标为O 1B ＝OB ＝4， 故点A 1的坐标是（4，125），故答案为：（4，125）．14．（3分）（2020•宁夏）如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A ＝ 32 度．【解答】解：由作图可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是∠ABC 的平分线， ∴AD ＝BD ，∠ABD =∠CBD =12∠ABC ， ∴∠A ＝∠ABD ， ∴∠A ＝∠ABD ＝∠CBD ，∵∠A +∠ABC +∠C ＝180°，且∠C ＝84°， ∴∠A +2∠ABD ＝180°﹣∠C ， 即3∠A ＝180°﹣84°， ∴∠A ＝32°． 故答案为：32．15．（3分）（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为 6 ． 【解答】解：设阅读过《西游记》的人数是a ，阅读过《水浒传》的人数是b （a ，b 均为整数），依题意，得：{a ＞bb ＞4a ＜8，∵a ，b 均为整数 ∴4＜b ＜7， ∴b 最大可以取6． 故答案为：6．16．（3分）（2020•宁夏）2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为 27 ．【解答】解：由题意可得在图1中：a 2+b 2＝15，（b ﹣a ）2＝3， 图2中大正方形的面积为：（a +b ）2， ∵（b ﹣a ）2＝3 a 2﹣2ab +b 2＝3， ∴15﹣2ab ＝3 2ab ＝12，∴（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2＝15+12＝27， 故答案为：27．三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17．（6分）（2020•宁夏）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．【解答】解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C （1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），连接A1C1，A1B1，B1C1得到△A1B1C1．如图所示△A1B1C1为所求；（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），连接各点，得△A2B2C2．第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），连接各点，得△A2B2C2．综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；18．（6分）（2020•宁夏）解不等式组：{5−x ≥3(x −1)①2x−13−5x+12＜1②．【解答】解：由①得：x ≤2， 由②得：x ＞﹣1，所以，不等式组的解集是﹣1＜x ≤2． 19．（6分）（2020•宁夏）先化简，再求值：（a+1a+2+1a−2）÷2a 2−4，其中a =√2． 【解答】解：原式=(a+1)(a−2)+a+2a 2−4⋅a 2−42=a 2−a−2+a+22 =a 22当a =√2时，原式=(√2)22=1．20．（6分）（2020•宁夏）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元． （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？【解答】解：（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，依题意，得：{60x +45y =114045x +30y =840，解得：{x =16y =4．答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元．（2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品（600﹣m ）件， 依题意，得：16m +4（600﹣m ）≤7000， 解得：m ≤38313，又∵m 为正整数， ∴m 的最大值为383．答：A 种防疫物品最多购买383件．21．（6分）（2020•宁夏）如图，在▱ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F ．求证：F A ＝AB ．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC ，AB ∥DC ．∴∠FEA ＝∠DEC ，∠F ＝∠ECD ． 又∵EA ＝ED ， ∴△AFE ≌△DCE ． ∴AF ＝DC ． ∴AF ＝AB ．22．（6分）（2020•宁夏）某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表： 日用水量/m 30≤x ＜0.10.1≤x ＜0.20.2≤x ＜0.30.3≤x ＜0.40.4≤x ＜0.5频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/m30≤x＜0.10.1≤x＜0.20.2≤x＜0.30.3≤x＜0.4频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）【解答】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：120×（0×0.05+4×0.15+2×0.25+4×0.35+10×0.45）＝0.35（m3），使用了节水龙头20天的日平均用水量为：120×（2×0.05+6×0.15+8×0.25+4×0.35）＝0.22（m3）；（2）365×（0.35﹣0.22）＝365×0.13＝47.45（m3），答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省47.45m3水．四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23．（8分）（2020•宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接DE，若∠A＝30°，求BEDE．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接DE，如图2所示：∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴BEDE =CECD，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE=12∠ACB=12×60°＝30°，∴CECD=cos∠DCE＝cos30°=√32，∴BEDE =√32．24．（8分）（2020•宁夏）“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y （m ）与步行时间x （min ）之间的函数关系式如图中折线段AB ﹣BC ﹣CD 所示． （1）小丽与小明出发 30 min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地． ①求小丽和小明步行的速度各是多少？②计算出点C 的坐标，并解释点C 的实际意义．【解答】解：（1）由图象可得小丽与小明出发30min 相遇， 故答案为：30；（2）①设小丽步行的速度为V 1m /min ，小明步行的速度为V 2m /min ，且V 2＞V 1， 则{30V 1+30V 2=5400(67.5−30)V 1=30V 2， 解得：{V 1=80V 2=100，答：小丽步行的速度为80m /min ，小明步行的速度为100m /min ； ②设点C 的坐标为（x ，y ），则可得方程（100+80）（x ﹣30）+80（67.5﹣x ）＝5400， 解得x ＝54，y ＝（100+80）（54﹣30）＝4320m ， ∴点C （54，4320），点C 表示：两人出发54min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320m ．25．（10分）（2020•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1： 鞋号（正整数） 22 23 24 25 26 27 …脚长（毫米）160±2 165±2 170±2 175±2 180±2 185±2 …为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据b n定义为[b n]如表2：序号n123456…鞋号a n222324252627…脚长b n160±2165±2170±2175±2180±2185±2…脚长[b n]160165170175180185…定义：对于任意正整数m、n，其中m＞2．若[b n]＝m，则m﹣2≤b n≤m+2．如：[b4]＝175表示175﹣2≤b4≤175+2，即173≤b4≤177．（1）通过观察表2，猜想出a n与序号n之间的关系式，[b n]与序号n之间的关系式；（2）用含a n的代数式表示[b n]；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围；（3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？【解答】解：（1）a n＝21+n；[b n]＝160+5（n﹣1）＝5n+155；（2）由a n＝21+n与[b n]＝5n+155解得：[b n]＝5a n+50，把a n＝42代入a n＝21+n得n＝21，所以[b21]＝5×42+50＝260，则：260﹣2≤b21≤260+2，即258≤b21≤262．答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm～262mm；（3）根据[b n]＝5n+155可知[b n]能被5整除，∵270﹣2≤271≤270+2，∴[b n]＝270，将[b n]＝270代入[b n]＝5a n+50中得a n＝44．故应购买44号的鞋．26．（10分）（2020•宁夏）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板ABC与DEF （∠B＝∠E＝30°），若将三角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），AB与DF、DE分别交于点P、M，AC与DE交于点Q，其中AC＝DF=√3，设三角板ABC移动时间为x秒．（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？【解答】解：（1）解：因为Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ为等边三角形，过点M作MN⊥AQ，垂足为点N．在Rt△ABC中，AC=√3，BC=AC⋅tanA=3，∴EF＝BC＝3，根据题意可知CF＝x，∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x CQ=CE⋅tanE=√33(3−x)，∴AQ=AC−CQ=√3−√33(3−x)=√33x，∴AM=AQ=√33x，而MN=AM⋅sinA=12x，∴S△MAQ=12AQ⋅MN=12×√33x⋅12x=√312x2，（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x PF=BF⋅tanB=√33(3−x)，∴S重叠=S△ABC−S△AMQ−S△BPF=12AC⋅BC−12AQ⋅MN−12BF⋅PF=12×3×√3−√312x2−12(3−x)√33(3−x)=−√34x2+√3x=−√34(x−2)2+√3，所以当x＝2时，重叠部分面积最大，最大面积是√3．。