绝密★启用前2020年宁夏初中学业水平考试数 学一、选择题（共8小题）1.下列各式中正确的是（ ）A .326a a a ⋅=B .321ab ab -=C .261213a a a+=+D .2(3)3a a a a -=-2.小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）A .中位数是3，众数是2B .众数是1，平均数是2C .中位数是2，众数是2D .中位数是3，平均数是2.53.现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（ ） A .14B .12C .35D .344.如图摆放的一副学生用直角三角板，30F ∠=︒，45C ∠=︒，AB 与DE 相交于点G ，当EF BC ∥时，EGB ∠的度数是（ ）A .135︒B .120︒C .115︒D .105︒5.如图，菱形ABCD 的边长为13，对角线24AC =，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG =（ ）A .13B .10C .12D .56.如图，等腰直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，AC =以点C 为圆心画弧与斜边AB 相切于点D ，交AC 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积是（ ）A .14π-B .14π- C .24π-D .14π+7.如图，函数11y x =+与函数22y x=的图象相交于点()1,M m ，()2,N n -.若12y y ＞，则x 的取值范围是（ ）A .2x -＜或x 0＜＜1B .2x -＜或1x ＞C .2x -＜＜0或x 0＜＜1D .2x -＜＜0或1x ＞8.如图2是图1长方体的三视图，若用S 表示面积，2S a =主，2S a a =+左，则=S 俯（ ）-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________A .2a a +B .22aC .221a a ++D .22a a +二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9.分解因式：2363=a a -+________.10.若二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是________. 11.有三张大小、形状完全相同的卡片.卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是________. 12.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深1ED =寸，锯道长1AB =尺（1尺=10寸）.问这根圆形木材的直径是________寸.13.如图，直线542y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，把AOB △绕点B 逆时针旋转90︒后得到11A O B △，则点1A 的坐标是________.14.如图，在ABC △中，84C ∠=︒，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A ∠=________度.15.《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件： （1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数； （2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数； （3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数.若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为________. 16.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b .如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为________.三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分）17.在平面直角坐标系中，ABC △的三个顶点的坐标分别是()1,3A ，()4,1B ，()1,1C . （1）画出ABC △关于x 轴成轴对称的111A B C △；（2）画出ABC △以点O 为位似中心，位似比为1:2的222A B C △.18.解不等式组：53(1) 21511 32x x x x --⎧⎪⎨-+-⎪⎩≥①＜②. 19.先化简，再求值：2112224a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中a 20.在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品.如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1 140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元. （1）求A 、B 两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A 、B 两种防疫物品共600件，总费用不超过7 000元，那么A 种防疫物品最多购买多少件？21.如图，在ABCD 中，点E 是AD 的中点，连接CE 并延长，交BA 的延长线于点F .求证：FA AB =.22.某家庭记录了未使用节水龙头20天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头20天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/3m00.1x ≤＜0.10.2x ≤＜ 0.20.3x ≤＜ 0.30.4x ≤＜ 0.40.5x ≤＜频数42410使用了节水龙头20天的日用水量频数分布表：日用水量/3m00.1x ≤＜0.10.2x ≤＜0.20.3x ≤＜0.30.4x ≤＜频数2684（1）计算未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量；（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少立方米水？（一年按365天计算）四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）23.如图，在ABC △中，90B ∠=︒，点D 为AC 上一点，以CD 为直径的O 交AB 于点E ，连接CE ，且CE 平分ACB ∠.（1）求证：AE 是O 的切线； （2）连接DE ，若30A ∠=︒，求BEDE.24.“低碳生活，绿色出行”是一种环保、健康的生活方式，小丽从甲地匀速步行前往乙地，同时，小明从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离()m y 与步行时间()min x 之间的函数关系式如图中折线段AB BC CD --所示. （1）小丽与小明出发________min 相遇； （2）在步行过程中，若小明先到达甲地.①求小丽和小明步行的速度各是多少？ ②计算出点C 的坐标，并解释点C 的实际意义.-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________25.在综合与实践活动中，活动小组的同学看到网上购鞋的鞋号（为正整数）与脚长（毫米）的对应关系如表1： 鞋号（正整数） 222324252627… 脚长（毫米）1602± 1652± 1702± 1752± 1802± 1852±…为了方便对问题的研究，活动小组将表1中的数据进行了编号，并对脚长的数据n b 定义为[]n b 如表2： 序号n 1 2 3 4 5 6 … 鞋号n a 222324252627… 脚长n b 1602±1652±1702±1752±1802±1852±… 脚长[]n b160165170175180185…定义：对于任意正整数m 、n ，其中2m ＞.若[]=n b m ，则22n m b m -+≤≤. 如：4[]=175b 表示417521752b -+≤≤，即4173177b ≤≤.（1）通过观察表2，猜想出n a 与序号n 之间的关系式，[]n b 与序号n 之间的关系式； （2）用含n a 的代数式表示[]n b ；计算鞋号为42的鞋适合的脚长范围； （3）若脚长为271毫米，那么应购鞋的鞋号为多大？26.如图（1）放置两个全等的含有30︒角的直角三角板ABC 与DEF （30B E ∠=∠=︒），若将三角板ABC 向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C 与点E 重合时移动终止），移动过程中始终保持点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，如图（2），AB 与DF 、DE 分别交于点P 、M ，AC 与DE 交于点Q，其中AC DF ==板ABC 移动时间为x 秒.（1）在移动过程中，试用含x 的代数式表示AMQ △的面积；（2）计算x 等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？2020年宁夏初中学业水平考试数学答案解析一、 1.【答案】D【解析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案.解：A .325a a a ⋅=，所以A 错误；B .32ab ab ab -=，所以B 错误；C .2611233a a a a+=+，所以C 错误；D .2(3)3a a a a -=-，所以D 正确；故选：D .2.【答案】C【解析】根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断.解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，处在中间位置的一个数为2，因此中位数为2；平均数为(0114263242)152⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=；众数为2；故选：C .3.【答案】B【解析】画出树状图，找出所有的可能情况数以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率. 解：画树状图如图：共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个，∴能构成三角形的概率为121242=，故选：B . 4.【答案】D【解析】解：过点G 作,HG BC ∥，EF BC ∥，GH BC EF ∴∥∥，HGB B ∴∠=∠，HGE E ∠=∠，在Rt DEF △和Rt ABC △中，30F ∠=︒，45C ∠=︒，60E ∴∠=︒，45B ∠=︒，45HGB B ︒∴∠=∠=，60HGE E ∠=∠=︒，6045105EGB HGE HGB ︒︒︒∴∠=∠+∠=+=，故EGB ∠的度数是105︒，故选：D .5.【答案】B【解析】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：菱形ABCD 的边长为13，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，AB CD ∴∥，13AB BC CD DA ====，EF BD ∥，AC 、BD 是菱形的对角线，24AC =，AC BD ∴⊥，12AO CO ==，OB OD =，又AB CD ∥，EF BD ∥，DE BG ∴∥，BD EG ∥，DE BG ∥，BD EG ∥，∴四边形BDEG 是平行四边形，BD EG ∴=，在COD △中，OC OD ⊥，13CD =，12CO =，5OB OD ∴===，210BD OD ∴==，10EG BD ∴==；故选：B . 6.【答案】A【解析】解：连接CD ，如图，AB 是圆C 的切线，CD AB ∴⊥，ABC △是等腰直角三角形，2AB ∴=，112CD AB ∴==，∴图中阴影部分的面积21901123604ABC ECFS S ππ⋅⋅=-==-△△.故选：A . 7.【答案】D【解析】解：由一次函数和反比例函数的图象可知，当直线图象在反比例函数图象之上时，所对应的x 的取值范围为2x -＜＜0或1x ＞，故答案为：2x -＜＜0或1x ＞.故选：D . 8.【答案】A 【解析】解：2S a a a ==⋅主，2(1)S a a a a =+=+左，∴俯视图的长为1a +，宽为a ，2(1)S a a a a ∴=⋅+=+俯，故选A .二、9.【答案】23(1)a -【解析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案.解：原式()223213(1)a a a =-+=-.故答案为：23(1)a -.10.【答案】1k -＞.【解析】根据二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，可知判别式0∆＞，列出不等式并解之即可求出k 的取值范围.解：二次函数22y x x k =-++的图象与x 轴有两个交点，44(1)0k ∴∆=-⨯-⋅＞，解得：1k -＞，故答案为：1k -＞. 11.【答案】23【解析】解：列表得：4 5 6 4 9 10 5 9 11 61011共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，∴两次抽出数字之和为奇数的概率为4263=.故答案为：23. 12.【答案】26【解析】解：由题意可知OE AB ⊥，OE 为O 半径，1122AD BD AB ∴===尺=5寸，设半径OA OE r ==，1ED =，1OD r ∴=-，则Rt OAD △中，根据勾股定理可得：22(1)52r r -+=，解得：13r =，∴木材直径为26寸；故答案为：26. 13.【答案】124,5⎛⎫⎪⎝⎭【解析】解：在542y x =+中，令0x =得，4y =，令0y =，得5042x =+，解得85x =-，8,05A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，(0,4)B ，由旋转可得11AOB A O B △≌△，190ABA ︒∠=，1ABO ABO ∴∠=∠，1190A BO AOB ∠︒=∠=，1185OA O A ==，14OB O B ==，190OBO ︒∴∠=，1 O B x ∴∥轴，∴点1A 的纵坐标为OB OA -的长，即为812455-=；横坐标为14O B OB ==，故点1A 的坐标是124,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：124,5⎛⎫⎪⎝⎭.14.【答案】32【解析】解：由作图可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，BD 是ABC ∠的平分线，AD BD ∴=，12ABD CBD ABC ∠=∠=∠，A ABD ∴∠=∠，A ABD CBD ∴∠=∠=∠，180A ABC C ∠+∠+︒∠=，且84C ∠=︒，2180A ABD C ∠+∠=︒∴-∠，即318084A ∠=︒-︒，32A ∴∠=︒.故答案为：32.15.【答案】6【解析】解：设阅读过《西游记》的人数是a ，阅读过《水浒传》的人数是b （a ，b 均为整数），依题意，得：48a b b a ⎧⎪⎨⎪⎩＞＞＜，a ，b 均为整数47b ∴＜＜，b ∴最大可以取6.故答案为：6. 16.【答案】27【解析】解：由题意可得在图1中：2215a b +=，2()3b a -=，图2中大正方形的面积为：()2a b +，2()3b a -=，2223a ab b -+=，1523ab ∴-=，212ab =，222()2151227a b a ab b ∴+=++=+=，故答案为：27.三、17.【答案】解：（1）由题意知：ABC △的三个顶点的坐标分别是()1,3A ，()4,1B ，()1,1C ，则ABC △关于x 轴成轴对称的111A B C △的坐标为()11,3A -，()14,1B -，()1,1C -，连接11A C ，1A B ，11B C ，得到111A B C △.如图所示111A B C △为所求.（2）由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：第一种，222A B C △和ABC △在同一侧，则2(2,6)A ，2(8,2)B ，2(2,2)C ，连接各点，得222A B C △.第二种，222A B C △在ABC △的对侧()22,6A --，()28,2B --，()22,2C --，连接各点，得222A B C △.综上所述：如图所示222A B C △为所求.【解析】（1）将ABC △的各个点关于x 轴的对称点描出，连接即可.（2）在ABC △同侧和对侧分别找到22OA OA =，22OB OB =，22OB OB =所对应的2A ，2B ，2C 的坐标，连接即可.18.【答案】解：由①得：2x ≤，由②得：1x -＞，所以，不等式组的解集是12x -＜≤. 【解析】分别解出两个不等式的解集，然后确定解集的公共部分就可以求出不等式的解集.19.【答案】解：原式22(1)(2)2424a a a a a +-++-=⋅- 2222a a a --++=22a =当a =1==.【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值.20.【答案】（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，依题意，得：604511404530840x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：164x y =⎧⎨=⎩.答：A 种防疫物品每件16元，B 种防疫物品每件4元.（2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品()600m -件，依题意，得：164(600)7000m m +-≤，解得：13833m ≤，又m 为正整数，m ∴的最大值为383.答：A 种防疫物品最多购买383件.【解析】（1）设A 种防疫物品每件x 元，B 种防疫物品每件y 元，根据“如果购买A 种物品60件，B 种物品45件，共需1 140元；如果购买A 种物品45件，B 种物品30件，共需840元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论. （2）设购买A 种防疫物品m 件，则购买B 种防疫物品()600m -件，根据总价=单价⨯购买数量，结合总费用不超过7 000元，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论. 21.【答案】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB DC ∴=，AB DC ∥.FEA DEC ∴∠=∠，F ECD ∠=∠.又EA ED =，AFE DCE ∴△≌△.AF DC ∴=.AF AB ∴=.【解析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS ，ASA ，SSS ）来证明AFE DCE △≌△，根据全等的性质再证明AF DC =，从而证明AF AB =. 22.【答案】解：（1）未使用节水龙头20天的日平均用水量为：()31(00.0540.1520.2540.35100.45)0.3520m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，使用了节水龙头20天的日平均用水量为：()31(20.0560.1580.2540.35)0.2220m ⨯⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）()3365(0.350.22)3650.13474m .5⨯-=⨯=.答：估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省347.45m 水.【解析】（1）取组中值，运用加权平均数分别计算出未使用节水龙头20天的日平均用水量和使用了节水龙头20天的日平均用水量即可. （2）先计算平均一天节水量，再乘以365即可得到结果. 四、23.【答案】（1）证明：连接OE ，如图1所示：CE 平分ACB ∠，ACE BCE ∴∠=∠，又OE OC =，ACE OEC ∴∠=∠，BCE OEC ∴∠=∠，OE BC ∴∥，AEO B ∴∠=∠，又90B ︒∠=，90AEO ︒∴∠=，即OE AE ⊥，OE 为O 的半径，AE ∴是O 的切线.（2）解：连接DE ，如图2所示：CD 是O 的直径，90DEC ︒∴∠=，DEC B ∴∠=∠，又DCE ECB ∠=∠，DCE ECB ∴△∽△，BE CEDE CD ∴=，30A ︒∠=，90B ∠=︒，60ACB ︒∴∠=，1160302DCE ACB ︒︒∴∠=∠=⨯=，cos cos30CE DCE CD ∴=︒∠==，BE DE ∴=.【解析】（1）连接OE ，证明OE BC ∥，得90AEO B ︒∠=∠=，即可得出结论. （2）连接DE ，先证明DCE ECB △∽△，得出BE CEDE CD=，易证60ACB ∠=︒，由角平分线定义得11603022DCE ACB ∠︒⨯︒=∠==，由此可得CECD的值，即可得出结果.24.【答案】（1）30（2）①设小丽步行的速度为1 m/min v ，小明步行的速度为2 m/min v ，且21v v ＞，则121230305400(67.530)30v v v V +=⎧⎨-=⎩，解得：1280100v v =⎧⎨=⎩，答：小丽步行的速度为80 m/min ，小明步行的速度为100 m/min .②设点C 的坐标为(),x y ，则可得方程(10080)(30)80(67.5)5400x x +-+-=，解得54x =，(10080)(5430)4320m y =+-=，∴点()54,4320C ，点C 表示：两人出发54 min 时，小明到达甲地，此时两人相距4320 m .【解析】（1）直接从图象获取信息即可；小丽与小明出发30 min 相遇，故答案为：30. （2）①设小丽步行的速度为1/min v m ，小明步行的速度为2/min v m ，且21v v ＞，根据图象和题意列出方程组，求解即可.②设点C 的坐标为(),x y ，根据题意列出方程解出x ，再根据图象求出y 即可，再结合两人的运动过程解释点C 的意义即可.25.【答案】解：（1）21n a n =+；[]1605(1)5155n b n n =+-=+.（2）由21n a n =+与[]5155n b n =+解得：[]550n n b a =+，把42n a =代入21n a n =+得21n =，所以[]2154250260b =⨯+=，则：2126022602b -+≤≤，即21258262b ≤≤.答：鞋号为42的鞋适合的脚长范围是258mm 262mm ≈.（3）根据[]5155n b n =+可知[]n b 能被5整除，27022712702-+≤≤，[]270n b ∴=，将[]270n b =代入[]550n n b a =+中得44n a =.故应购买44号的鞋. 【解析】（1）观察表格里的数据，可直接得出结论.（2）把n 用含有n a 的式子表示出来，代入[]5155n b n =+化简整理，再计算鞋号为42对应的n 的值，代入[]5155n b n =+求解即可.（3）首先计算[]270n b =，再代入[]550n n b a =+求出n a 的值即可. 26.【答案】（1）解：因为Rt ABC △中30B ∠=︒，60A ∴∠=︒，30E ︒∠=，60EQC AQM ︒∴∠=∠=，AMQ ∴△为等边三角形，过点M 作MN AQ ⊥，垂足为点N .在Rt ABC △中，AC =AC =tan AC A Z BC =⋅=，3EF BC ∴==，根据题意可知CF x =，3tan )CE EF CF xCQ CE E x ∴=-=-=⋅=-，)AQ AC CQ x x ∴=-=-，AM AQ ∴==，而1sin 2MN AM A x ==，211313222MAQ S AQ MN x x x ∴==⨯=△.（2）由（1）知3tan )BF CE xPF BF Bx ==-=⋅=-，ABC AMQ BPFS S S S ∴=--△△△重叠222113(3)2)112222AC BC AQ MN BF P x x x x F =⨯-=⋅-⋅-⋅--==-+，所以当2x =【解析】（1）解直角三角形ABC 求得3EF BC ==，设CF x =，可求AQ x =，12MN x =，根据三角形面积公式即可求出结论. （2）根据“ABC AMQ BPF S S S S =--△△△重叠”列出函数关系式，通过配方求解即可.。