几种参数识别的方法A 基于时域的参数识别方法推导A1 Ibrahim 时域方法Irrahim 时域识别方法是需要测量自由响应信号或者脉冲信号。

系统为二阶线性系统，被测自由响应信号为x(t)，二阶线性系统为复指数之和。

)()(~)(t n t p t x +⋅ψ= (A-1)[]***ψψψψψψ=ψNN ,,,,,,,2121 (A-2) {}t t t t t t N N e e e e e e t p ***=λλλλλλ,,,,,,,)(~2121 (A-3) 其中n(t)为输出噪音信号，N 是振动模态数，它由被测的二阶系统和通过模拟低通滤波截断频率所共同决定，Ψi 和λi 为二阶系统的本征矢量和特征值，m 为测量点数，其中m=1。

通常认为m 等于N ，N 为振动模态数量，为求出)(~t p ，它为2N*1矩阵，必须在时域上扩展响应信号矢量，例如，在t+T3时刻，响应信号可表示为：)()(~),()(333131t n t p e e diag T t x T T +⋅⋅ψ=+⋅⋅*λλ (A-4)其中n3（t ）为在t+T3时刻的噪音矢量，联合公式1和4可得出：)()(~~)(t N t p t u +⋅ψ= (A-5)其中：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=)()()(3T t x t x t u (A-6) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅ψψ=ψ⋅⋅*),(~3131T T e e diag λλ (A-7) 或者, []***ψψψψψψ=ψN N ~,,~,~,~,,~,~~2121 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=)()()(3t n t n t N (A-8) 同样的，可以很容易地得出以下公式：)()(~),(~)(113131t N t p e e diag T t u T T +⋅⋅ψ=+λλ (A-9)看公式5，假设复指数是线性独立的，我们可以得到：)(~)(~)(~11t N t u t p ⋅ψ-⋅ψ=-- (A-10)将公式10代到9中，我么和可以得到：)()(~),(~)(~),(~)(111131313131t N t N e e diag t u e e diag T t u T T T T +⋅ψ⋅⋅ψ-⋅ψ⋅⋅ψ=+-⋅⋅-⋅⋅**λλλλ(A-11)忽略噪音，可得：)()(1t u A T t u ⋅=+ (A-12)其中 1~),(~1111-⋅⋅ψ⋅⋅ψ=*T T e e diag A λλ (A-13)),,2,1(,1111N i e e T T =⋅⋅*λλ是矩阵A 的特征值，测试项目的特征值可以通过解决ψ~（它由矩阵A 的特征值组成）来得到。

为了得到A ，做如下假设：t i t ∆⋅= (A-14)t N T ∆⋅=11 (A-15)t N T ∆⋅=33 (A-16)然后，矩阵A 可以通过以下公式计算出来：)0()(1U A N U ⋅= (A-17)其中，[])1(,),1(),()(-++=M j u j u j u j U ， j=0，N 1 (A-18)如果M 大于等于2*N ，而且复指数是线性独立的，矩阵A 可通过以下公式得出。

如果M=2*N,11)0()(-⋅=U N U A (A-19)如果M>:2*N ，11))0()0(()0()(-⋅⋅⋅=T T U U U N U A (A-20)或者111111))()0(()()(21))0()0(()0()(21--⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=T T T T N U U N U N U U U U N U A (A-21)公式21也叫做DLS （double least square ）.据说DLS 具有更精确的振动模态估计。

Ibrahim 的时域方法有一个限制，即需要已知测试点或测试位置的数量值m 。

通常，在测量振动信号时，测试点的数量值小于模态数量。

通过将假测量引入到响应矢量x(t)中可部分解决上述问题，即令：⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=)()()()()(~22N i x i x T t x t x t x (A-22) )()(22N i x N i x l l +=+⨯ (A-23)其中)(,,2N i x m l N l m l l +≤=+⨯是大小减小的响应矢量，U(t)由)(~t x 构造出来，如果2N m <，并且假测量的原则可以用来扩展)(~t x 的大小，其中一个条件是 23N i N ⋅≠ (A-24)为了使U(0)和U(N1)为最大的一列。

用假测量来减小噪声的影响，在限定的时间范围内，任何时间相关函数可以使用泰勒展开或者一些复指数来估计得到，即：∑=⋅*⋅*⋅+⋅=DN i t g i t g i i i e q e q t N 1)()( (A-25)DN 是噪声模态的大小，它由使用公式25所表示的噪声的精度来决定的。

也就是泰勒展开的基本函数。

由于这些随机自然噪声，噪声模态能够很容易被改变或者不稳定。

为了数出这些噪声模态，假测量可以被用来增大)(~t x 。

噪声可以通过感觉或者物理阐述本征矢量或者特征值来检测到。

噪声模态还可以通过MCF （模态的置信因数或者OAMCF （总体的模态置信因数）来检测到，MCF 定义如下：)(~)(~)(31k N e k MCF i T i k +ψ⋅ψ=⋅λ (A-26) 其中i ψ~在公式7中有定义，OAMCF 定义如下： NP OAMCF 0= (A-27) 其中P 0为（MCF ）k 的数量，（MCF ）k 接近于幅值为1，相位角度为0。

如果OAMCF 接近于1，则相应的模型可以被归纳为系统模型或者测试项目的振动模型。

假-测量隐含的条件是减少噪声对评估的影响。

A2 复指数方法复指数方法，或称为波朗尼方法，实际上是AR 模型的基本方法，被测信号必须是脉冲响应或者至少是自由响应信号。

在复指数方法中的AR 模型与ARMA 模型并不接近，它有如下表示方法：脉冲响应矢量或者自由响应矢量有如下定义：∑∑⋅ψ=⋅ψ==∆⋅⋅)()()(21k i i Ni T k i Z e k h i λ (A-28)其中△t 是采样时间，T i i e Z ∆⋅=λ， (A-29)而h(k)和i ψ都是M*1的矩阵。

假设)())(()(221202N N i i i N z z z z z z z a---=⋅∑-- (A-30)然后，∑∑∑∑∑==-==+-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅ψ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ψ⋅=+⋅N i N j j i j N k i i Nj N i j k i i j N N j j N z a z z a j k h a 20212202122020)()())(((A-31)∑-=-+-=+⋅120)2())((N j j aN k N h j k h a (A-32)注意公式31和公式32没有任何近似值，a i （i=1，2···2N ）是AR 参数，这些AR 参数可以通过时间上扩展公式32得到： h a H ~~-=⋅ (A-33) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+---=)1()12()2()2()2()1()12()1()0(~NM h N NM h N NM h N h h h N h h h H (A-34) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-112a a a a aN N (A-35) ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=)()12()2(~NM h N h N h h (A-36) NM 是测量次数，必须满足以下条件N M NM ⋅≥⋅4 (A-37)A 的解既不是最小二乘法也不是单值的分解 h H H H a T T ~~)~~(1⋅⋅⋅-=- (A-38)或者h H a T ~~⋅-= (A-39)可以通过解决代数公式30可以得到自然频率和模态振动。

伴随矩阵方法，它将多项式根的问题转化为矩阵特征值的问题，可以被用来求多项式的根，它比传统的Newton-Raphson 方法更加精确，它的本征矢量可以通过以下公式求得： HZ ˆ=⋅ψ (A-40) 其中[]N 221,,,ψψψ=ψ (A-41)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=r N N Nr r z z z z z z z z z Z 212022120211101(A-42) [])(,),1(),0(ˆr h h h H= (A-43) 其中 12-≥N r 。

最后，最小正解为： 1)(ˆ-⋅⋅=ψT T ZZ Z H(A-44) 复指数方法的一个很大的优点是：可以通过只使用一个测量点来估计测试项目的复特征值，然而，为了估计特征值，在其他许多点上测量是必要的。

由于不可避免的干扰和测量噪声，测量值往往有误差，平均误差可以用e T e 来表示，e 的定义如下： h a H e ~~+⋅= (A-45) 为了降低噪声的影响，可以使用最大假设系统阶次，那么复指数方法的另外一个问题是确定实际系统阶次以及消除噪声模态。

如果假设的阶次小于实际系统阶次，由于未知的振动模态数量，平均误差会很大。

如果假设的阶次打渔实际系统阶次，平均误差只能是由噪声引起的，实际误差应该要小。

通过增大系统假设阶次，平均误差在某些特定水平上会稳定。

实际系统阶次可以通过观察eTe 伴随着假设的系统阶次N 的变化而变化来得到。

确定实际系统阶次的方法是时间的消耗和计算密度。

它的尺度与MCF 相似，后者也是为了消除噪声模态而产生的。

复指数方法的另外一个问题是，如果激励点与一些特殊振动模态的节点很靠近，振动模态被有效激励，而且会产生很大的误差。

Polyreference 方法是复指数方法在多个激励点或者位置上的扩展，假设)(k Y ij 是在点i 处，时间k 处的脉冲响应乘以j 处的脉冲信号。

)(k Y ij 必须满足公式46的条件，公式46是公式32在多个激励位置上的扩展。

注意脉冲响应是由在不同位置的单独脉冲输入所产生的。

这意味着脉冲信号要分开使用：∑-=-+-=+⋅1202)2())((N j j N k N Y j k Y a (A-46)通过简化，AR 模型参数可以通过以下公式解决：∑∑==-=⋅NPk NP k k k h a H 11)~()~( (A-47)其中k H ~和k h ~是公式33中相应的矩阵，使用在k 处的脉冲激励产生的脉冲响应信号。

相似的，自然频率，模态振动以及本征矢量通过在复指数中直接的相同的方法可以求得。