2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于（ ）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -2．不等式201x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--U ，，B ．[12]-，C ．(1)[2)-∞-+∞U ，，D ．(12]-，3．设M N ，是两个集合，则“M N =∅U ”是“M N ≠∅I ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ ） A ．⊥a bB ．∥a bC ．||||=a bD ．||||≠a b5．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.025Φ-=，则(|| 1.96)P ξ<=（ ） A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9756．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．下列四个命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则0lim ()lim ()x x x x f x f x +-=→→B ．函数22()4x f x x +=-的不连续点是2x =和2x =- C ．若函数()f x ，()g x 满足lim[()()]0x f x g x ∞-=→，则lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→D．111lim12x x -=-→ 8．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）AB ．1C．1 D9．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．02⎛ ⎝⎦，B ．03⎛ ⎝⎦，C．12⎫⎪⎪⎣⎭ D．13⎫⎪⎪⎣⎭10．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S L ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈L 、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y +=相切的圆的方程是 ．12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，b，c =π3C =，则B = ． 13．函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是 ．14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅I ， （1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈I ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… ……………………………………… 图1三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列和期望． 18．（本小题满分12分）如图2，E F ，分别是矩形ABCD 的边AB CD ，的中点，G 是EF 上的一点，将GAB △，GCD △分别沿AB CD ，翻折成1G AB △，2G CD △，并连结12G G ，使得平面1G AB ⊥平面ABCD ，12G G AD ∥，且12G G AD <．连结2BG ，如图3．图2图3（I ）证明：平面1G AB ⊥平面12G ADG ；（II ）当12AB =，25BC =，8EG =时，求直线2BG 和平面12G ADG 所成的角． 19．（本小题满分12分）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<<oo），且2sin 5θ=，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ．当山坡上公路长度为l km1G2GD F C BAE（12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，3(km)OA =．（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．20．（本小题满分12分）已知双曲线222x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点．（I ）若动点M 满足1111FM F A F B FO =++u u u u r u u u r u u u r u u u r （其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程； （II ）在x 轴上是否存在定点C ，使CA u u u r ·CB u u u r为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知()n n n A a b ，（n ∈N*）是曲线xy e =上的点，1a a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，…． （I ）证明：数列2n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（2n ≤）是常数数列； （II ）确定a 的取值集合M ，使a M ∈时，数列{}n a 是单调递增数列； （III ）证明：当a M ∈时，弦1n n A A +（n ∈N*）的斜率随n 单调递增．ＯAEDBHP参考答案1．【答案】C【解析】2222i 4i 42i.1+i (1+i)2i -⎛⎫=== ⎪⎝⎭2．【答案】D【解析】由201x x -+≤得(2)(1)010x x x -+⎧⎨+≠⎩≤，所以解集为(12]-，.3．【答案】B【解析】由韦恩图知M N ≠∅⇒/U M N ≠∅I ;反之，M N ≠∅I .M N ⇒≠∅U 4． 【答案】A【解析】222()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+gg g a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴g a b =0， ⇒⊥a b.5．【答案】C【解析】ξ服从标准正态分布(01)N ，，(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ⇒<=-<<= (1.96)( 1.96)12( 1.96)120.0250.950.ΦΦΦ--=--=-⨯= 6．【答案】B.【解析】由图像易知交点共有3个。

7 【答案】C.【解析】lim ()lim ()x x f x g x ∞∞=→→的前提是lim ()lim ()x x f x g x ∞∞→→与必须都存在！8．【答案】D.【解析】正方体对角线为球直径，所以432=R ，在过点E 、F 、O 的球的大圆中， 由已知得d=23,21=R ，224143=-=r ，所以。

9． 【答案】D【解析】由已知P 2(,)a y c，所以1F P 的中点Q 的坐标为2(,)22b y c ，由12124222222,,1,2.2F PQF F P QF cy cy b k k k k y b b b c c==⋅=-⇒=--2222211()(3)0(3)0,13y a c e e e ∴=-->⇒->>> 当10F Pk =时，2QF k 不存在，此时2F为中点，223a c c e c -=⇒=综上得1.3e ≤< 10．【答案】B【解析】含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个， 故满足条件的两个元素的集合有11个。

11．【答案】22(1)(1)2x y -+-= 【解析】半径R=22|411|=-+，所以圆的方程为22(1)(1)2x y -+-=12．【答案】5π6【解析】由正弦定理得cos2B ==-，所以5π.6B =13．【答案】–16【解析】2()12302,f x x x '=-=⇒=±Q L 检验(2)16,(3)9,f f ⇒-=-= min ()(2)16.f x f ∴=-=-14．【答案】（1）[1)+∞， （2）92【解析】（1）由图象可知b 的取值范围是[1).+∞，（2）若(),,x y A B ∈⋂令t=2x y +，则在（0，b ）处取得最大值，所以0+2b=9，所以b=92. 15．【答案】21n-，32【解析】由不完全归纳法知，全行都为1的是第21n-行；662163,n =⇒-=Q故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1。