河南省专升本考试高等数学真题2016年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.______（分数：2.00）A.(-∞，-1]B.(-∞，-1)C.(-∞，1]D.(-∞，1) √解析：[解析] 要使函数有意义，则需1-x＞0，即x＜1，故应选D．2.函数f(x)=x-2x 3是______（分数：2.00）A.奇函数√B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断奇偶性解析：[解析] f(-x)=-x-2(-x) 3 =-x+2x 3 =-(x-2x 3 )=-f(x)，故f(x)为奇函数，故应选A．3.已知则f[f(x)]=______A．x-1B．C．1-xD．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析D．4.下列极限不存在的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] D．5.______（分数：2.00）A.0B.1C.-1 √D.-2解析：[解析C．也可直接对分子分母的最高次项进行比较．6.已知极限则a的值是______A．1B．-1C．2D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析7.已知当x→0时，2-2cosx～ax 2，则a的值是______A．1B．2C．D．-1（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析8.x=1处，下列结论正确的是______（分数：2.00）A.a=2时，f(x)必连续B.a=2时，f(x)不连续√C.a=-1时，f(x)连续D.a=1时，f(x)必连续解析：[解析] 要使函数f(x)在x=1处连续，则有当a=2a=2时，f(x)不连续．故应选B．9.已知函数φ(x)在点x=0处可导，函数f(x)=(x-1)φ(x-1)，则f"(1)=______（分数：2.00）A.φ"(0)B.φ"(1)C.φ(0) √D.φ(1)解析：[解析] 由φ(x)在x=0处可导，可知φ(x)在x=0处连续，故应选C．10.函数f(x)=1-|x-1|在点x=1处______（分数：2.00）A.不连续B.连续且可导C.既不连续也不可导D.连续但不可导√解析：[解析f(x)在x=1处连续．而f"(1 +)=-1，f"(1 -)=1，故在x=1处不可导，故应选D．11.若曲线f(x)=1-x 3与曲线g(x)=lnx在自变量x=x 0时的切线相互垂直，则x 0应为______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] f"(x 0 )=(1-x 3 )| x=x0 =- ，由于切线相互垂直，则C．12.已知f(x)=1-x 4在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理，则在开区间(-1，1)内使f"(ξ)=0成立的ξ=______（分数：2.00）A.0 √B.1C.-1D.2解析：[解析] f"(x)=-4x 3，f"(ξ)=-4ξ=0，则ξ=0，故应选A．13.设函数f(x)在区间(-1，1)内连续，若x∈(-1，0)时，f"(x)＜0；x∈(0，1)时，f"(x)＞0，则在区间(-1，1)内______（分数：2.00）A.f(0)是函数f(x)的极小值√B.f(0)是函数f(x)的极大值C.f(0)不是函数f(x)的极值D.f(0)不一定是函数f(x)的极值解析：[解析] 由极值第一判定定理，可知f(0)应为函数f(x)的极小值，故应选A．14.设函数y=f(x)在区间(0，2)内具有二阶导数，若x∈(0，1)时，f"(x)＜0；x∈(1，2)时，f"(x)＞0，则______（分数：2.00）A.f(1)是函数f(x)的极大值B.点(1，f(1))是曲线y=f(x)的拐点√C.f(1)是函数f(x)的极小值D.点(1，f(1))不是曲线y=f(x)的拐点解析：[解析] 函数f(x)在(0，1)上为凸，在(1，2)上为凹，故(1，f(1))应为函数f(x)的拐点，故应选B．15.已知曲线y=x 4，则______∙ A.在(-∞，0)内y=x4单调递减且形状为凸∙ B.在(-∞，0)内y=x4单调递增且形状为凹∙ C.在(0，+∞)内y=x4单调递减且形状为凸∙ D.在(0，+∞)内y=x4单调递增且形状为凹（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] y"=4x 3，当x＞0时，y"＞0；当x＜0时，y"＜0；y"=12x 2，在(-∞，+∞)上有y"≥0，根据选项，可知应选D．16.已知F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分∫f(x-1)dx=______（分数：2.00）A.F(x-1)+C √B.F(x)+CC.-F(x-1)+CD.-F(x)+C解析：[解析] 由题可知∫f(x)dx=F(x)+C，∫f(x-1)dx=∫f(x-1)d(x-1)=F(x-1)+C，故应选A．17.设函数则f"(x)=______A．B．-e -x +2xC．e -x +x 2D．e -x +2x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析C．18.定积分∙ A.2ae-a2∙ B.ae-a2∙ C.0∙ D.2a（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 令f(x)=xe -x2，f(-x)=-xe -x2 =-f(x)，可知f(x)为奇函数，故19.由曲线y=e -x与直线x=0，x=1，y=0所围成的平面图形的面积是______∙ A.e-1∙ B.1∙ C.1-e-1∙ D.1+e-1（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] C．20.______（分数：2.00）A.I1=I2B.I1＞I2 √C.I1＜I2D.不能确定，I1与I2的大小解析：[解析] 当x∈(1，2)时，x 2＞x．由定积分保序性可知I 1＞I 2故应选B．21.向量a=j+k的方向角是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 向量a的坐标表示应为{0，1，1}，故方向余弦为则α，β，γD．22.已知e -x是微分方程y"+3ay"+2y=0的一个解，则常数a=______A．1B．-1C．3D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 令y=e -x，y"=-e -x，y"=e -x，代入有e -x -3ae -x +2e -x =0，由e -x≠0，则有1-3a+2=0，a=1．故应选A．23.下列微分方程中可进行分离变量的是______∙ A.y"=(x+y)e x+y∙ B.y"=xye x+y∙ C.y"=aye xy∙ D.y"=(x+y)e xy（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 对于B项，y"=xye x·e y，分离变量得B．24.设二元函数z=x 3 +xy 2 +y 3，则∙ A.3y2∙ B.3x2∙ C.2y∙ D.2x（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析C．25.用钢板做成一个表面积为54m 2的有盖长方体水箱，欲使水箱的容积最大，则水箱的最大容积为______∙ A.18m3∙ B.27m3∙ C.6m3∙ D.9m3（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 设水箱的长、宽、高分别为x，y，z，则有2xy+2yz+2xz=54，即xy+yz+xz=27，体积V=xyz，令F(x，y，z)=xyz+λ(xy+yz+xz-27)，解得x=3，y=3，z=3，由于驻点(3，3，3)唯一，实际中确有最大值，故当x=3，y=3，z=3时长方体体积最大，最大值V=27．故应选B．26.设D={(x，y)|1≤x 2 +y 2≤4，x≥0，y≥0}，则二重积分（分数：2.00）A.16πB.8πC.4πD.3π√解析：[解析] 由二重积分的性质可知S D为D的面积．27.已知则变换积分次序后A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 积分区域为D：0≤x≤1，0≤y≤x，也可表示为：0≤y≤1，y≤x≤1，28.设L为连接点(0，0)与点(1，)的直线段，则曲线积分∫ L y 2 ds=______ A．1B．2C．3D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] L可表示为29.下列级数发散的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 选项A为调和级数，可知其发散．30.已知级数则下列结论正确的是______A．B．若部分和数列{S n }有界，则收敛C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 的必要条件，故应选C．选项B中，需要求为正项级数；选项D应改为若收敛．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数f(x)=x 3的反函数是y= 1．（分数：2.00）解析： [解析] 令y=f(x)=x 3，，故f(x)的反函数32.极限（分数：2.00）解析：[解析33.已知函数x=0是f(x)的 1间断点．（分数：2.00）解析：可去[解析f(0)=1，故x=0是f(x)的可去间断点.34.函数f(x)=e 1-x在点x=0.99处的近似值为 1．（分数：2.00）解析：1.01 [解析] 取x 0=1，Δx=-0.01，有f(x 0+Δx)=f(0.99)≈f(x 0)+f"(x 0)Δx=1-1·(-0.01)=1.01．35.不定积分∫sin(x+1)dx= 1．（分数：2.00）解析：-cos(x+1)+C[解析] ∫sin(x+1)dx=∫sin(x+1)d(x+1)=-cos(x+1)+C.36.定积分（分数：2.00）解析：ln2[解析37.函数z=xy-x 2 -y 2在点(0，1)处的全微分dz| (0，1) = 1.（分数：2.00）解析：dx-2dy[解析38.与向量{2，1，2}同向平行的单位向量是 1．（分数：2.00）解析：[解析] 故与{2，1，2}39.微分方程y+xy 2 =0的通解是 1．（分数：2.00）解析：[解析] 方程分离变量得两边积分得C为任意常数.当y=0时，可知也为方程的解.40.幂级数 1．（分数：2.00）解析：3[解析三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.计算极限（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析42.求函数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 令u=2-cosx43.计算不定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析44.计算定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析45.设直线A(0，1，2)且平行于直线l的直线方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 设已知直线l的方向向量为n，则由于所求直线与l平行，故其方向向量可取{1，-2，1}，又直线过点A(0，1，2)，故所求直线方程为46.已知函数z=f(x，y)由方程xz-yz-x+y=0所确定，求全微分dz．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 令F(x，y，z)=xz-yz-z+y，则F x =z-1，F y =-z+1，F z =x-y，因此47.已知D={(x，y)|0≤x 2 +y 2≤4}，计算二重积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 积分区域D可用极坐标表示为0≤r≤2，0≤θ≤2π,故48.求微分方程xy"+y-x=0的通解．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[解析] 方程化简为为一阶线性微分方程，由通解公式得其中C为任意常数．49.求幂级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[解析] 令t=x-1．则级数为不缺项的幂级数．R=1，则-1＜t＜1．即-1＜x-1＜1，0＜x＜2，故收敛区间为(0，2)．50.求级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[解析] 收敛半径R=1，令四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求由直线x=1，x=e，y=0及曲线（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[解析] 如图所示，即所求图形．则面积52.某工厂生产计算器，若日产量为x台的成本函数为C(x)=7500+50x-0.02x 2，收入函数为R(x)=80x-0.03x 2，且产销平衡，试确定日生产多少台计算器时，工厂的利润最大?（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[解析] 利润=收入-成本，故利润L(x)=R(x)-C(x)=80x-0.03x 2-7500-50x+0.02x 2=30x-0.01x 2-7500．令L"(x)=30-0.02x=0，x得x=1500，且L"(1500)=-0.02＜0．故x=1500为L(x)的极大值，又由实际问题，极值唯一，故x=1500为L(x)的最大值，即日生产1500台计算器时，工厂的利润最大．五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程4x+3x 3 -x 5 =0有一负根x=-2，证明方程4+9x 2 -5x 4 =0必有一个大于-2的负根．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：[证明] 令f(x)=4x+3x 3 -x 5，由题可知f(-2)=0，又有f(0)=0，f(x)在[-2，0]上连续，存(-2，0)上可导，故由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(-2，0)，使得f"(ξ)=4+9ξ2 -5ξ1 =0，即方程4+9x 2 -5x 4 =0必有一个大于-2的负根．。