三角函数线及其应用
复习：三角函数定义
单位圆中任意角的三角函数定义： 当r=1，即角的终边与单位圆相交于点P（x,y）时
①比值 y 叫做 的正弦，记作 sin，即 sin y ．
②比值 x 叫做 的余弦，记作cos，即cos x ．
③比值 y 叫做 的正切，记作 tan，即 tan y ．
x
x
∴x∈2kπ＋π4，2kπ＋34π∪2kπ＋54π，2kπ＋74π(k∈Z)，即 x∈ kπ＋π4，kπ＋34π(k∈Z)(12 分)
【题后反思】 (1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问 题的工具，要注意利用其来解决问题． (2)三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数 的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)， 因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．
概念点拨：
1．对单位圆中三角函数定义的理解 (1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确，α 是一个任意角． (2)用单位圆上的点的坐标定义三角函数有许多优点 ①使正弦、余弦函数从自变量(角的弧度数)到函数值(单位圆上 点的横、纵坐标)之间的函数关系更清楚、简单，突出了三角函 数的本质，有利于我们利用已有的函数概念来理解三角函数； ②使三角函数反映的数形关系更直接，为后面学习其他问题奠 定基础．
题型一 作三角函数线
例（1）作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
【例 2】 在单位圆中画出满足 sin α＝12的角 α 的终边．并作出 其正弦线、余弦线和正切线． [思路探索] 可先做出直线 y＝12与单位圆的交点 P、Q，连接 OP、 OQ 即得 α 的终边，再利用三角函数线的定义作出其三角函数 线．
解 如图(1)作直线 y＝12交单位圆于 P、Q，则 OP、OQ 为角 α 的终边． 如图(2)所示，当 α 的终边是 OP 时，角 α 的正弦线为 MP，余 弦线为 OM，正切线为 AT. 当 α 的终边为 OQ 时，角 α 的正弦线为 NQ，余弦线为 ON，正 切线为 AT′.
(1)
(2)
【变式 1】 若将例题中“sin α＝12”改为 cos α＝12，如何画出角 α 的终边． 解 如图作直线 x＝12交单位圆于 M、N.则 OM、ON 为角 α 的 终边．
→
作单位圆中 三角函数线
→
确定角x的 终边的范围
→
得定义域
[规范解答] (1)如图所示，
∵2sin x－ 3≥0，∴sin x≥ 23，(3 分)
∴x∈2kπ＋π3，2kπ＋23π(k∈Z)．(6 分)
(2)如图所示，∵11－＋
2cos x>0， 2cos x≥0，
∴－ 22≤cos x< 22，(9 分)
解析 如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余弦线 OM、正切线 AT，很容易地观察出 OM<MP<AT， 即 cos α<sin α<tan α. 答案 A 规律方法 熟悉角 θ 的正弦线、余弦线、正切线是解决此类问 题的关键，可借助图形的直观性来帮助分析问题．
【变式 2】 利用正弦线比较 sin1，sin 1.2，sin 1.5 的大小关系 是( )． A．sin 1>sin 1.2>sin 1.5 B．sin 1>sin 1.5>sin 1.2 C．sin 1.5>sin 1.2>sin 1 D．sin 1.2>sin 1>sin 1.5 解析 ∵1,1.2,1.5 均在0，π2内，正弦线在0，2π内随 α 的增大 而逐渐增大，∴sin 1.5>sin 1.2>sin 1. 答案 C
(3)三角函数线的画法：①作正弦线、余弦线时，首先找到角的 终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足， 从而得正弦线和余弦线． ②作正切线时，应从 A(1,0)点引 x 轴的垂线，交 α 的终边(α 为 第一或第四象限角)或 α 终边的反向延长线(α 为第二或第三象 限角)于点 T，即可得到正切线 AT. (4)三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三 角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数图象与性质的 基础．
切线不存在．
三角函数线 三角函数线是表示三角函数值的有向线段，线段的方向表示了 三角函数值的正负，线段的长度表示了三角函数值的绝对值.
图示
对三角函数线的理解 (1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几 何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定 的有向线段的数值可以用来表示三角函数值． (2)三角函数线都是有向线段．因此在用字母表示这些线段时， 也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠 倒．为此，我们规定凡由原点出发的线段，以原点为起点；不 从原点出发的线段，以三角函数线与坐标轴的交点为起点．
r1
cos x x x OM
r1
tan y MP AT AT
x OM OA
y
的终边
T
P
的终边
y
P
o
A
Mx
Mo
A

T
这几条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、AT
叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 x 轴上时，正弦线、正切线分别
变成一个点；
当角 的终边在 y 轴上时，弦线变成一个点，正
三角函数的一种几何表示--三角函数线
利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线， 余弦线，正切线．
三角函数的几何表示课件
y
的终边
T
P
的终边
y
P
o
A
Mx
Mo
A
x
当角
T
的终边不在坐标轴上时，我们把 OM
，MP
都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线
段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：
sin y y y MP
题型三 利用三角函数线求定义域
利用三角函数线得正弦、余弦、正切函数的定义域：
三角函数
定义域
sin y cos x
tan y
x
R R
k
2
,
k
Z
【例 3】 求下列函数的定义域：
(1)y＝ 2sin x－ 3；
(2)y＝lg(1－ 2cos x)＋ 1＋ 2cos x.
审题指导
列出三角 不等式
题型二 三角函数线的简单运用
【例 2】 (2012·聊城高一检测)如果π4<α<2π，那么下列不等式成
立的是( )．
A．cos α<sin α<tan α
B．tan α<sin α<cos α
C．sin α<cos α<tan α
D．cos α<tan α<sin α
[思路探索] 利用π4的三角函数线作参照即可得到结论．