生的概率没有影响(即
), 则称
事件A与事件B相互独立.
显然:
(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立.
(2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立:
①
②
③
例如证①
练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.
① 篮球比赛的“罚球两次”中， 事件A：第一次罚球，球进了.
是
事件B：第二次罚球，球进了.
注:(1)若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件相互
独立， 则称事件 A1，A2 ，… ，An 两两相互独立. (2)设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件，若对于任意k(1≤k≤n), 及则称1≤事i 1件< i 2A<1·，··A<2i，k≤…n ，An 相互独立.
附2.若设n个独立事件
是 (1－P1) (1－P。2) (1－P3)
练习4.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问
题的概率是P1, ，乙解决这个问题的概率是P2，那 么其中至少有1人解决这个问题的概率是多少？
P1 (1－P2) +(1－P1)P2+P1P2
=P1 + P2 － P1P2
练习5:
已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠
由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为r(0<r<1)，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。
(1)
1
2
P1=r2
1
2
(3)
1
2
P3=1－(1－r2)2
(2)
1
2
P2=1－(1－r)2
1
2
(4)
1
2
P4=[1－(1－r)2]2
答案
附1：用数学符号语言表示下列关系：
老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为
0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中
至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比
较，谁大？
嘿嘿，跟我
斗！Leabharlann 练习5: 已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠
老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中 至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比 较，谁大？
解设 A={ 甲击中敌机 },B={ 乙击中敌机 }, C={敌机被击中 } 依题设,
由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性，所以 A与B独立，进而
则甲没击中的概率为：P（ ）=0.4，乙没击中 的概率为： P（ ）=0.5 因为敌机被击中（即事件C发生），有三种情况：
甲击中乙没击中：
略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为
1 P( A B C ) 1 0.5 0.55 0.6 0.835
0.8 P(D)
所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮.
学习小结:
(1)列表比较
定义
互斥事件 不可能同时发
生的两个事件
相互独立事件 事件A是否发生对事件B 发生的概率没有影响
概率公式 P(A+B)=P(A)+P(B) P( A B) P( A) P(B)
思考 2.盒中有 5 个球(3 白两黑),每次取出一个,有放回地取 两次,记 A 第一次抽取取到白球, B 第二次抽取取到白 球. 试问事件 A 是否发生会影响事件 B 发生的概率大小 吗?(即 P(B) P(B | A) 吗?)如果是不放回呢?
相互独立事件的定义:
设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发
= 0.8
练习2、若甲以10发8中，乙以10发7中的命中率打靶，
两人各射击一次，则他们都中靶的概率是( D )
(A)
3 5
(B)
3 4
(C)
12 25
(D)
14 25
练习3.某产品的制作需三道工序，设这三道工序出
现次品的概率分别是P1,P2,P3。假设三道工序互不影 响，则制作出来的产品是正品的概率
②袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球.
不是 事件A：第一次从中任取一个球是白球.
事件B：第二次从中任取一个球是白球.
③袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球.
事件A：第一次从中任取一个球是白球.
是 事件B：第二次从中任取一个球是白球.
思考1.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概 率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概 率.
乙击中甲没击中：
甲乙同时击中：
思考1.甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概 率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概 率. 解设 A={ 甲击中敌机 },B={ 乙击中敌机 }, C={敌机被击中 }
依题设, 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中 敌机的可能性，所以 A与B独立,进而
事件的相互独立性
问题引入: 思考 1.甲盒子里有 3 个白球和 2 个黑球，乙盒子里有 2 个 白球和 2 个黑球，记 A =从甲盒子里摸出 1 个球，得到白 球;B=从乙盒子里摸出 1 个球，得到白球,试问事件 A 是否 发生会影响事件 B 发生的概率大小吗?(即 P(B) P(B | A) 吗?)
若A、B、C为相互独立事件，则 ① A、B、C同时发生； ①A·B·C ② A、B、C都不发生； ② A·B·C ③ A、B、C中恰有一个发生；③A·B·C＋A·B·C＋A·B·C ④ A、B、C中至少有一个发生的概率；④1－P( A·B·C ) ⑤ A、B、C中至多有一个发生.
⑤A·B·C ＋ A·B·C ＋ A·B·＋C A·B·C
(2)解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本 的互斥事件与相互独立事件. 选做作业:
研究性题:在力量不是十分悬殊的情况下我们解释 了“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的说法.那么你能否用概 率的知识解释我们常说的“真理往往掌握在少数人手 里的”？
作业:课本 P A 组第 1、3 题
选做作业: 一个元件能正常工作的概率r称为该元件的可靠性。
计算在这段时间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关JA,JB,JC能够
发生的概率
分别为
则“
至少有一个发生”的概率为
P(A1…An) =1- (1-p1 ) …(1-pn ) 类似可以得出：
“
至少有一个不发生”的概率为
=1- p1 … pn
思考3. 如图,在一段线路中并联着3个自动控制的常开
开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工
作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，