第十讲 向量组的线性关系一、考试内容与考试要求考试内容向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求（1）理解n 维向量的概念；（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲．二、知识要点引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数．（2）齐次方程组Ax o =⎧⎨⎩唯一零解无穷解（有非零解），o 是向量．1．线性组合（线性表示）定义1 线性组合（线性表示）给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示：注意1（1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零； （2）零向量可由任一同维的向量组线性表示；（3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解．（4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一； （5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示； （6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示： 定义2 向量组的等价向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）．向量组的等价具有① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）；③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）． 注意 2记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L，则（1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广．（2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B ==（3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关；（4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，Λ21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤；这是（3）的逆否命题．向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，Λ21线性表示，则必有r s ≤；反之不成立２．线性相关与线性无关定义3 线性相关与线性无关给定向量组（I ）：12,,,m αααL ，如果存在不全为零的数12,,,m k k k L ，使 则称向量组（I ）是线性相关的，否则称它线性无关．例如：由于23⎛⎫ ⎪⎝⎭=210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭，即210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭-23⎛⎫ ⎪⎝⎭=o ，向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关的．而向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量组100⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭均是线性无关的．注意3(1）单位坐标向量组12,,,n e e e L 是线性无关的； (2）含有零向量的向量组线性相关； (3）单个非零向量线性无关；(4）两个向量线性相关⇔对应坐标成比例． 证明如下：(1）单位坐标向量组12,,,n e e e L 是线性无关的．证 由1k 100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M +2k 010⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M +L +nk001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭M =o ，有12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M =o故1k =2k =L =n k =0，故向量组12,,,n e e e L 是线性无关．(2）含有零向量的向量组12,,,m αααL ，o 线性相关． 证 120001m o o ααα⋅+⋅++⋅+⋅=L (3）单个非零向量线性无关．证 设o α≠，若k o α=，必有k =0，故线性无关． (4）两个向量线性相关⇔对应坐标成比例．证 设12(,,,)T n a a a α=L ，12(,,,)Tn b b b β=L必要性 由于向量,αβ线性相关，则存在不全为零的数12,k k ，有 不妨设10k ≠，则21k k αβ=-，即21,1,2,i i ka b i n k =-=L ，对应坐标成比例． 充分性 对应坐标成比例，,1,2,i i a kb i n ==L ，即k αβ=，k o αβ-+=，1,k -不全为零，,αβ线性相关．3．线性相关、线性无关的性质性质1 向量组部分相关，则整体相关；向量组整体无关，则部分无关． 性质2 记A =(12,,,m αααL )，则向量组12,,,m αααL Ax o Ax o ⇔=⎧⎨⇔=⎩线性无关有唯一零解线性相关有非零解性质3 若向量组中的向量的维数小于向量的个数，则向量组线性相关．或：向量组中向量的个数大于向量的维数，则向量组线性相关． 推论：1n +个n 维向量一定线性相关． 性质4向量组12,,,m αααL ⇔⎧⎨⇔⎩线性相关至少有一个向量可由其余向量线性表示线性无关每一个向量都不能由其余向量线性表示应注意向量组12,,,m αααL 线性相关，则12,,,m αααL 中至少有一个向量可由其余向量线性表示，但不是每一个向量都可由其余向量线性表示．性质5 设向量组（I ）：12,,,m αααL 线性无关，而向量组（II ）：12,,,,m αααβL 线性相关，则向量β能由向量组（I ）线性表示，且表示式是惟一的．性质6 向量组12,,,m αααL ⎧⎨⎩线性无关，则添维数仍线性无关线性相关，则减维数仍线性相关学习这些性质应该采取对上述每一点都可先用简单的例题予与理解，然后再证明．下面以性质1、性质4和性质6为例具体说明．例 判断向量组10⎛⎫⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭，43⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性相关性？由于23⎛⎫ ⎪⎝⎭=210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭，即210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭-23⎛⎫ ⎪⎝⎭=00⎛⎫ ⎪⎝⎭，故10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关，则由性质（1）知向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭，43⎛⎫⎪⎝⎭整体相关．这由210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭-23⎛⎫ ⎪⎝⎭+043⎛⎫ ⎪⎝⎭=00⎛⎫ ⎪⎝⎭即可简单的证明．向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭，43⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性相关的也可由上述性质3看出，因为维数是2，向量个数是4，所以线性相关．对性质4的理解：由于010⎛⎫ ⎪⎝⎭+001⎛⎫ ⎪⎝⎭+100⎛⎫ ⎪⎝⎭=00⎛⎫ ⎪⎝⎭，故向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，00⎛⎫ ⎪⎝⎭线性相关，00⎛⎫ ⎪⎝⎭=010⎛⎫ ⎪⎝⎭+001⎛⎫ ⎪⎝⎭，10⎛⎫ ⎪⎝⎭和01⎛⎫ ⎪⎝⎭都不能由其它两个向量线性表示．对性质6的理解：向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭线性无关，添维数后101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭仍线性无关；111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，222⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性相关，减维数后11⎛⎫ ⎪⎝⎭，22⎛⎫ ⎪⎝⎭仍线性相关。

4．性质的证明性质1 证明：① 部分相关，在向量组在12,,,,s m ααααL L 中，不妨设12,,s αααL 线性相关，则存在一组不全为零的 数12,,,m k k k L ，有即 1122100s s s m k k k o ααααα+++++++=L L1,,,0,,0s k k L L 不全为零，故向量组整体相关．② 反证法：设部分相关，在向量组12,,,,s m ααααL L 中，不妨设12,,,s αααL 线性相关，由①知整体相关，与假设矛盾． 性质2 证明 由Ax o =得：当12(,,,)Tm x x x x =L 有惟一零解时，12,,,,s m ααααL L 线性无关． 当12(,,,)Tm x x x x =L 有非零解时，12,,,,s m ααααL L 线性相关．可总结为：n 维向量组12,,,m αααL 0,0,A m nA m n⎧≠⎧⎪⎪⎨≠=⎪⎪⎩⎨≠⎧⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎩R(A)=m,m n 线性无关R(A)<m,m n 线性相关简单记忆为：()R A 等于向量组中向量的个数m ，向量组线性无关；()R A 小于向量组中向量的个数，向量组线性相关．性质3 证明 若向量组12,,,m αααL 中的向量的维数n 小于向量的个数，记 由于{}()min ,R A m n ≤，12(,,,)m R αααL =()R A m <，由性质2知12,,,m αααL 组线性相关，得证．性质4 证明 必要性：只需证明上半部分，下半部分用反证法可得．向量组12,,,m αααL 线性相关，故存在不全为零的数12,,,m k k k L ，使 不妨设10k ≠，则12211()m m k k k ααα=-++L ． 充分性 不妨设111m m m αλαλα-=++L ，即121,,,,1m λλλ--L 不全为零，向量组12,,,m αααL 线性相关．性质5 证明：记A =(12,,,m αααL )，B =12(,,,,)m αααβL ，则()()R A R B ≤（（I ）组是（II ）组的部分），因为（I ）组线性无关，由性质2知()R A m =．因为（II ）组线性相关，有()1R B m <+，故()1m R B m ≤<+，即()R B m =．()()(,)R A R B R A m β===，Ax β=有惟一解，故向量β能由向量组（I ）惟一线性表示．性质6 证明略． 注意4虽然涉及线性相关与线性无关的证明题多，但解题的方法往往局限在三种：一是用线性相关与线性无关的定义；二是用与齐次方程组Ax o =有惟一零解或非零解的关系；三是用秩的性质进行求解．其中线性相（无）关与Ax o =的解之间的关系为：n 维向量组12,,,m αααL 0,0,A m n A m n⎧≠⎧⎪⎪⎨≠=⎪⎩⎪⎨≠⎧⎪⎪⎨⎪==⎪⎩⎩R(A)=m,m n 线性无关:Ax=o 有唯一零解R(A)<m,m n 线性相关：Ax=o 有非零解上式也是这部分内容的核心和重点，学生应该理解透彻．细心分析例题10.7，用了这三种方法，也代表了这一部分内容的常用解题方法．补充性质几个要用的结论，可作为补充性质：（1）设向量组12,,,r βββL 能由向量组12,,,s αααL 线性表示，简记为AK B =，其中K 为r s ⨯矩阵，若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,r βββL 线性无关的充要条件是r K R =)(，（即()R K 为向量组12,,,r βββL 中的向量个数）. 或设,r n r s s n B K A ⨯⨯⨯=若,)(s A R =则).()(B R K R =证明见例11.11和第七讲中秩的补充性质（1），也就是说可以从两个不同角度进行证明．（2）任一n 维向量均可由一组n 维的线性无关向量组12,,,n αααL 线性表示. 证明见例10.14．也就是说任一n 维向量不但可以由n 维单位向量组线性表示，还可以由一组n 维的线性无关向量组12,,,n αααL 线性表示．（3）n 维单位向量组12,,,n e e e L 能由向量组12,,,m αααL 线性表示的充分必要条件是12(,,,)m R n ααα=L .由（2）可直接得到结论．（4）当A 为n 阶方阵时，矩阵方程n AX E =有解充分必要条件是A 可逆（即()R A n =）． 由（3）可直接得到（4）．（5）当A 为n m ⨯矩阵，矩阵方程n AX E =有解充分必要条件是()R A n =，即若()R A =A 的行数（行满秩）．二、基础训练例10.1 （数四，97，3分）判断向量组1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛230，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121的线性相关性．解 存在数321,,k k k ，使得122233k k k o ααα++=．由于 121231101-=220330101-=0 即122233k k k o ααα++=有非零解，故123,,ααα线性相关．例10.2 当k = ______时, 向量β = (1, k , 5)能由向量12(1,3,2),(2,1,1)αα=-=-线性表示.解 β可由12,αα线性表示，即12(,)2R αα==12(,,)R ααβ，考察行列式得k =－8. 当k =－8时, 三个向量的行列式为0, 于是21,,ααβ线性相关. 显然21,αα线性无关, 所以β可用21,αα线性表示.例10.3 设有三维向量111k α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 211k α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3112α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 21k k β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，问k 取何值时，（1）β可由123,,ααα线性表示, 且表达式惟一; （2） β可由123,,ααα线性表示, 但表达式不惟一;（3） β不能由123,,ααα线性表示.解 )1(22221111112-=-=k k k k kk（1）10≠≠k k 且时, 123,,ααα线性无关, 而四个三维向量一定线性相关（n+1个n 维向量一定线性有关）, 所以β可由123,,ααα线性表示, 由性质5知表达式惟一；（2）当k = 1 时111111111121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M :M 111100000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M M M ？ 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2. 所以β可由123,,ααα线性表示, 但表示不惟一;（3）当0=k 时系数矩阵的秩等于2, 增广矩阵的秩为3, 所以β不能由123,,ααα线性表示.例10.4 设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，证明：（1）1α能由23,αα线性表示；（2）4α不能由123,,ααα线性表示．证 （1） 方法1 向量组234,,ααα线性无关，则23,αα线性无关（性质1），而123,,ααα线性相关，由性质5知1α能由23,αα线性表示．方法2 由向量组123,,ααα线性相关知，故存在不全为零的数123,,k k k ，使其中10k ≠．因为若10k =，则23,k k 不全为零，使2233k k o αα+=，于是有23,αα线性相关，从而234,,ααα线性相关（性质1），这与已知矛盾，故10k ≠．于是有2312311k kk k ααα=--=2233l l αα+ 即1α能由23,αα线性表示．（2）反证法：4α能由123,,ααα线性表示，而由（1）问知1α能由23,αα线性表示，故4α能由23,αα线性表示，由性质4知，234,,ααα线性相关，与题设向量组234,,ααα线性无关矛盾．例10.5 设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα, 则t = ______时, 1234,,,αααα线性相关.解 考察行列式0603020306020=--+++-=t t . 所以对任何t , 1234,,,αααα线性相关.例10.15 设α1, α2, α3, α, β均为4维向量, A = (α1, α2, α3, α), B = (α1, α2, α3, β), 且|A | = 2, |B | = 3, 则|A －3B | = ______.解 利用行列式性质，有123|3|2,2,2,3A B ααααβ-=----=1238,,,3ααααβ-⨯-=1238(,,,αααα-⨯1233,,,)αααβ-=8(||3||)56A B --=例10.16 （数一，05，4分） 设3阶矩阵()321,,ααα=A ，1=A ，且 求B ．解 方法1 利用行列式性质对列向量组化简得B =123123123,24,39ααααααααα++++++=1232323,3,5ααααααα++++=123233,3,2αααααα+++ =1232332,3,αααααα+++=12232,,αααα+=2123,,ααα=2方法2 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再进行计算．=()123111,,123149ααα⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是有 B =11112312149A ⋅=⨯=2例10.6 判断123(1,2,3),(3,2,1),(1,3,1)T T Tααα===是否线性相关.解 本题用三种方法来求解．方法1 定义法。