2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖北卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2011•湖北）i 为虚数单位，则（）2011=（ ） A ．﹣i B ．﹣1 C ．i D ．1 2．已知U={y|y=log 2x ，x ＞1}，P={y|y=，x ＞2}，则UP =（ ）A ．[，+∞）B ．（0，）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，0）∪（，+∞）3．（2011•湖北）已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，x ∈R ，若f （x ）≥1，则x 的取值范围为（ ）A ．{x|kπ+≤x≤kπ+π，k ∈Z}B ．{x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k ∈Z}C ．{x|kπ+≤x≤kπ+，k ∈Z}D ．{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k ∈Z}4．（2011•湖北）将两个顶点在抛物线y 2=2px （p ＞0）上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）A ．n=0B ．n=1C ．n=2D ．n≥3 5．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(4)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<=（ ） A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.26．（2011•湖北）已知定义在R 上的奇函数f （x ）和偶函数g （x ）满足f （x ）+g （x ）=a x ﹣a ﹣x +2（a ＞0，且a≠0）．若g （a ）=a ，则f （a ）=（ ） A ．2 B ． C ． D ．a 27．如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5768．已知向量=（x+z ，3），=（2，y ﹣z ），且⊥，若x ，y 满足不等式|x|+|y|≤1，则z 的取值范围为（ ） A ．[﹣2，2]B ．[﹣2，3]C ．[﹣3，2]D ．[﹣3，3]9．若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补，记φ（a，b）=﹣a﹣b那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）A．必要不充分条件B．充分不必要的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=M0，其中M0为t=0时铯137的含量．已知t=30时，铯137含量的变化率是﹣10In2（太贝克/年），则M（60）=（）A．5太贝克B．75In2太贝克C．150In2太贝克D．150太贝克二、填空题11．（2011•湖北）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为_________．（结果用数值表示）12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期的概率为_________．（结果用最简分数表示）13．（2011•湖北）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_________升．14．如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．（1）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为_________；（2）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是_________．15．给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相连的着色方案如图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_________种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_________种，（结果用数值表示）三、解答题16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC= （1）求△ABC的周长；（2）求cos（A﹣C）的值．17．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x 的一次函数．（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．18．如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（1）当CF=1时，求证：EF⊥A1C；（2）设二面角C﹣AF﹣E的大小为θ，求tanθ的最小值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a1=a（a≠0），a n+1=rS n（n∈N*，r∈R，r≠﹣1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若存在k∈N*，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2是否成等差数列，并证明你的结论．20．（2011•湖北）平面内与两定点A1（﹣a，0），A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；（2）当m=﹣1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点．试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2．若存在，求tanF1NF2的值；若不存在，请说明理由．21．（2011•湖北）（1）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；（2）设a1，b1（k=1，2…，n）均为正数，证明：①若a1b1+a2b2+...a n b n≤b1+b2+...b n，则 (1)②若b1+b2+…b n=1，则≤…≤b12+b22+…+b n2．参考答案1．A【解析】∵=i∴（）2011=i2011=i3=﹣i故选A2．A【详解】由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，所以全集U=（0，+∞），同样：P=（0，），得到U P=[，+∞）．故选A．3．B【解析】试题分析：，若，等价于，所以，，解得，．考点：1．三角函数的化简；2．利用三角函数的图像解不等式．4．C【解析】y2=2px（P＞0）的焦点F（，0）等边三角形的一个顶点位于抛物线y2=2px（P＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则等边三角形关于x轴轴对称两个边的斜率k=±tan30°=±，其方程为：y=±（x﹣），每条直线与抛物线均有两个交点，焦点两侧的两交点连接，分别构成一个等边三角形．故n=2，故选C5．C【分析】利用正态分布密度函数的对称性将求(02)P ξ<< 转化为(24)P ξ<<，根据条件做差即可. 【详解】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线2x =对称，所以(2)0.5P ξ<=，并且(02)(24)P P ξξ<<=<< 则(02)(4)(2)0.80.50.3P P P ξξξ<<=<-<=-= 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布密度函数求具体区间的概率，应用正态分布的对称性是解题的关键，属于基础题. 6．B【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，g （x ）是定义在R 上的偶函数 由f （x ）+g （x ）=a x ﹣a ﹣x +2 ①得f （﹣x ）+g （﹣x ）=a ﹣x ﹣a x +2=﹣f （x ）+g （x ） ② ①②联立解得f （x ）=a x ﹣a ﹣x ，g （x ）=2 由已知g （a ）=a ∴a=2∴f （a ）=f （2）=22﹣2﹣2= 故选B 7．B 【解析】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B.考点：相互独立事件的概率. 8．D 【解析】∵=（x+z ，3），=（2，y ﹣z ）， 又∵⊥∴（x+z ）×2+3×（y ﹣z ）=2x+3y ﹣z=0， 即z=2x+3y∵满足不等式|x|+|y|≤1的平面区域如下图所示： 由图可知当x=0，y=1时，z 取最大值3， 当x=0，y=﹣1时，z 取最小值﹣3， 故z 的取值范围为[﹣3，3] 故选D9．C 【解析】试题分析：由φ（a ，b ）＝0得22a b +－a －b ＝０且0,0a b ≥≥；所以φ（a ，b ）＝0是a 与b 互补的充分条件；再由a 与b 互补得到：0,0a b ≥≥，且ab ＝0；从而有，所以φ（a ，b ）＝0是a 与b 互补的必要条件；故得φ（a ，b ）＝0是a 与b 互补的充要条件；故选Ｃ．考点：充要条件的判定．10．D【解析】M'（t）=M0×，M'（30）=M0×=﹣10ln2，∴M0=600．∴．故选D．11．17【解析】二项展开式的通项为令得r=2所以展开式中含x15的项的系数为12．【解析】试题分析：本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C302种结果，满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C272种结果，计算可得其概率；根据对立事件的概率得到结果．解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生所包含的事件是从30个饮料中取2瓶，共有C302=435种结果，满足条件的事件是至少取到一瓶已过保质期的，它的对立事件是没有过期的，共有C272=351种结果，根据对立事件和古典概型的概率公式得到P=1﹣==，故答案为点评：本题考查古典概型的概率公式，考查对立事件的概率，在解题时若从正面考虑比较麻烦，可以从事件的对立事件来考虑．本题是一个基础题．13．【解析】由题设知，解得，∴=．14．（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．【解析】（1）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°=2，∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）（2）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y0），A在平面α上的射影是（x，y）根据上一问的结果，得到x=x0，y=y0，∵，∴∴（x﹣1）2+y2=1，故答案为（2，2）；（x﹣1）2+y2=1．15．21；43【解析】由题意知当n=1时，有2种，当n=2时，有3种，当n=3时，有2+3=5种，当n=4时，有3+5=8种，当n=5时，有5+8=13种，当n=6时，有8+13=21种，当n=6时，黑色和白色的小正方形共有26种涂法， 黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果，∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64﹣21=43种结果， 故答案为21；4316．（1）5 （2） 【解析】试题分析：解：（Ⅰ）22212cos 14444c a b ab C =+-=+-⨯= 2.c ∴=ABC ∴∆的周长为122 5.a b c ++=++=（Ⅱ）1cos ,sin 4C C =∴===sin 4sin 2a C A c ∴===,a c A C <∴<，故A 为锐角，7cos .8A ∴===7111cos()cos cos sin sin .8416A C A C A C ∴-=+=⨯= 考点：余弦定理和正弦定理点评：解决的关键是根据余弦定理和正弦定理来求解三角形，属于基础题． 17．（1）（2）3333辆/小时 【解析】（1）由题意：当0≤x≤20时，v （x ）=60；当20＜x≤200时，设v （x ）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（2）依题并由（1）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（1）函数v（x）的表达式（2）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．18．（1）见解析（2）【解析】（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC1，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A1C∴EN⊥侧面A1CNF为EF在侧面A1C内的射影在直角三角形CNF中，CN=1则由，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C由三垂线定理可知EF⊥A1C（2）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME由（1）可知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF∴∠EMN是二面角C﹣AF﹣E的平面角即∠EMN=θ设∠FAC=α则0°＜α≤45°，在直角三角形CNE中，NE=，在直角三角形AMN中，MN=3sinα故tanθ=，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤故当α=45°时，tanθ达到最小值，tanθ=，此时F与C1重合19．（1）（2）见解析【解析】（1）由已知a n+1=rS n，则a n+2=rS n+1，两式相减得a n+2﹣a n+1=r（S n+1﹣S n）=ra n+1即a n+2=（r+1）a n+1又a2=ra1=ra∴当r=0时，数列{a n}为：a，0，0，…；当r≠0时，由r≠﹣1，a≠0，∴a n≠0由a n+2=（r+1）a n+1得数列{a n}从第二项开始为等比数列∴当n≥2时，a n=r（r+1）n﹣2a综上数列{a n}的通项公式为（2）对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列，理由如下：当r=0时，由（1）知，∴对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列；当r≠0，r≠﹣1时∵S k+2=S k+a k+1+a k+2，S k+1=S k+a k+1若存在k∈N*，使得S k+1，S k，S k+2成等差数列，则2S k=S k+1+S k+2∴2S k=2S k+a k+2+2a k+1，即a k+2=﹣2a k+1由（1）知，a2，a3，…，a n，…的公比r+1=﹣2，于是对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1=﹣2a m，从而a m+2=4a m，∴a m+1+a m+2=2a m，即a m+1，a m，a m+2成等差数列综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，a m+1，a m，a m+2成等差数列．20．（1）见解析（2）见解析【解析】（1）设动点为M，其坐标为（x，y），当x≠±a时，由条件可得，即mx2﹣y2=ma2（x≠±a），又A1（﹣a，0），A2（a，0）的坐标满足mx2﹣y2=ma2．当m＜﹣1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当m=﹣1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆；当﹣1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；（2）由（1）知，当m=﹣1时，C1方程为x2+y2=a2，当m∈（﹣1，0）∪（0，+∞）时，C2的焦点分别为F1（﹣a，0），F2（a，0），对于给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），C1上存在点N（x0，y0）（y0≠0），使得△F1NF2的面积S=|m|a2，的充要条件为由①得0＜|y0|≤a，由②得|y0|=，当0＜≤a，即，或时，存在点N，使S=|m|a2，当，即，或时，不存在满足条件的点N．当m∈[，0）∪（0，]时，由=（﹣a﹣x0，﹣y0），=（a﹣x0，﹣y0），可得=x02﹣（1+m）a2+y02=﹣ma2．令=r1，||=r2，∠F1NF2=θ，则由=r1r2cosθ=﹣ma2，可得r1r2=，从而s=r1r2sinθ==﹣，于是由S=|m|a2，可得﹣=|m|a2，即tanθ=，综上可得：当m∈[，0）时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2，且tanθ=2；当m∈（0，]时，在C1上存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2，且tanθ=﹣2；当时，不存在满足条件的点N．21．（1）0 （2）见解析【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），令f′（x）=﹣1=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，+∞）上是减函数；故函数f（x）在x=1处取得最大值f（1）=0；（2）①由（1）知，当x∈（0，+∞）时，有f（x）≤f（1）=0，即lnx≤x﹣1，∵a k，b k（k=1，2…，n）均为正数，从而有lna k≤a k﹣1，得b k lna k≤a k b k﹣b k（k=1，2…，n），求和得≤a1b1+a2b2+…+a n b n﹣（b1+b2+…+b n）∵a1b1+a2b2+…a n b n≤b1+b2+…b n，∴≤0，即ln≤0，∴ (1)②先证≤…，令a k=（k=1，2…，n），则a1b1+a2b2+…+a n b n=1=b1+b2+…b n，于是由①得≤1，即≤n b1+b2+…bn=n，∴≤…，②再证…≤b12+b22+…+b n2，记s=b12+b22+…+b n2．令a k=（k=1，2…，n），则a1b1+a2b2+…+a n b n=（b12+b22+…+b n2）=1=b1+b2+…b n，于是由（1）得≤1，即…≤s b1+b2+…bn=s，∴…≤b12+b22+…+b n2，综合①②，②得证．视频。