2013年湖北省理科数学高考试题一．选择题 1．在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2．已知全集为R ，集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （ ） A.{}|0x x ≤ B.{}|24x x ≤≤ C. {}|024x x x ≤<>或 D.{}|024x x x <≤≥或3．在一次跳伞训练中，甲．乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A.()()p q ⌝∨⌝ B. ()p q ∨⌝ C. ()()p q ⌝∧⌝ D.p q ∨4．将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12πB.6πC.3πD.56π5．已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等6．已知点()1,1A -．()1,2B ．()2,1C --．()3,4D ，则向量AB 在CD方向上的投影为（ ）A.C. -D.7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ） A. 125ln 5+ B. 11825ln3+ C. 425ln 5+ D. 450ln 2+ 8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A. 1243V V V V <<<B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。

经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X = A.126125 B. 65 C. 168125 D. 7510．已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A.121()0,()2f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C.121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-二．填空题11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。

（I ）直方图中x 的值为 ； （II ）在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为 。

12i = 。

13．设,,x y z R ∈，且满足：2221x y z ++=，23x y z ++=x y z ++= 。

14．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。

记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。

选考题15．如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。

若3AB AD =，则CEEO的值为 。

16．在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。

在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。

若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。

三．解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。

已知()cos 23cos 1A B C -+=。

（I ）求角A 的大小；（II ）若ABC ∆的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值。

18．已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =。

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由。

19．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点。

（I ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（II ）设（I ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =。

记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=。

OD E BA第15题图C20．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量。

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p 。

（I ）求0p 的值；（参考数据：若()2,X N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=。

） （II ）某客运公司用A ．B 两种型号的车辆承担甲．乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A ．B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。

公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆。

若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A 型车．B 型车各多少辆？21．如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n ()m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D 。

记mnλ=，BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S 。

（I ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（II ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由。

第19题图22．设n 是正整数，r 为正有理数。

（I ）求函数()()1()111(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（II ）证明：()()11111111r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（III ）设x R ∈，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，4π=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥。

令S =+++S ⎡⎤⎢⎥的值。

（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）第21题图参考答案一、选择题 1．D 解：211iz i i==++，1z i ∴=-。

2．C 解：[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R A C B ∴=+∞ 。

3．A 解：“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：“甲或乙没有降落在指定范围内”。

4．B 解：2cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以m 的最小值是6π。

故选B 。

5．D 解：双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是21cos e θ==，故选D6．A 解：()2,1AB = ，()5,5CD = ，AB CD CD∴==A 。

7．C 解：令 ()257301v t t t =-+=+，则4t =。

汽车刹车的距离是402573425ln 51t dt t ⎛⎫-+=+ ⎪+⎝⎭⎰，故选C 。

8．C 解：C 由柱体和台体的体积公式可知选C9．B 解：三面涂有油漆的有8块，两面涂有油漆的有36块，一面涂有油漆的有54块，没有涂有油漆的有27块，所以()8365463211251251255E X =⨯+⨯+⨯=。

故选B 。

10．D 解：令()12ln 0f x ax x '=-+=得021a <<，ln 21(1,2)i i x ax i =-=。

又102f a ⎛⎫'>⎪⎝⎭，121012x x a ∴<<<<。

()222111111111()ln 210f x x x ax x ax ax ax x ∴=-=--=-<，()222222211()11122f x ax x x ax ax a a =-=->->⨯-=- 11．0.0044；70 解：()0.0060.00360.002420.0012501x ++⨯++⨯=，0.0044x =()0.00360.0060.00445010070++⨯⨯=12． 5137解：由柯西不等式知()()()222222212323xy z x y z ++++≥++，结合已知条件得123x y z==，从而解得123x y z ===x y z ++=14．1000 解：观察2n和n前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n=-，()10,241000N∴=15．8 解：由射影定理知()()2222812AD AB ADCE CD AD BDEO OD OA ADAB AD-====-⎛⎫-⎪⎝⎭16．3解：直线l的方程是x y m+=，作出图形借助直线的斜率可得c=，所以()2222c a c=-，e=17．解：（I）由已知条件得：cos23cos1A A+=22cos3cos20A A∴+-=，解得1cos2A=，角60A=︒（II）1sin2S bc A==4c⇒=，由余弦定理得：221a=，()222228sinaRA==25sin sin47bcB CR∴==18．解：（I）由已知条件得：25a=，又2110a q-=，13q∴=-或，所以数列{}n a的通项或253nna-=⨯（II）若1q=-，1211115ma a a+++=-或，不存在这样的正整数m；若3q=，12111919110310mma a a⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，不存在这样的正整数m。