数为正时，则应以该变量进基，作
单纯形迭代，从而找出新的最优解。
灵 敏 度 分 析
例2－11
XB CB
0 x4 0 x5
cj
233 0 0 5
xj x1 x2 x3
x4
x5
x6
b
3
111 1 0 2
9
147 0 1 3
2 x1
1
1 0 -1 4/3 -1/3 5/3 3/5
3 x2
2
0 1 2 -1/3 1/3 1/3 6
CBT XB B-1b
B-1B
B-1N
分 析
－Ｚ
- CB B-1b CB- CB B-1B CN- CB B-1N
灵敏度分析总是在最优表上进行
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
m Z 2 a x 1 3 x x 2 3 x 3 0 x 4 0 x 5
x1 x2 x3 x4 3 x1 4x2 7x3 x5 9 x1 ~ x5 3
市场价格
影子价格
影 商品的价值的货币 资源最优利用时的边际
子 表现
价值
价 随着市场的供求情 随着经济结构的变化而
格
况和有关方针，政 变化，同一资源在不同 策的变化而变化。 的经济结构中影子价格
的
不同。
特 它的制定含定价者 它的形成完全由经济结
点 的主观因素
构的客观条件确定。
它的制定是个比较 它的计算是比较容易的。
－Ｚ
-8
0 0 -1 -5/3 -1/3 2/3
5 x6
3/5 3/5 0 -3/5 4/5 -1/5 1
3 x2
9/5 -1/5 1 11/5 -3/5 2/5 0
－Ｚ
-42/5 -2/5 0 -3/5 -11/5 -1/5 0
增加一个约束
在企业的生产过程中，经常有一些突发
灵
事件产生，造成原本不紧缺的某种资源 变成为紧缺资源，对生产计划造成影响，
格
价格低于影子价格，就买进资源，当市场
价格高于影子价格，就卖出资源）
■影子价格越小，说明这种资源相对不紧缺
■如果最优生产计划下某种资源有剩余，这
种资源的影子价格一定等于0
A
B
C 拥有量
工时
1
1
1
3
材料
影
单件利润
1
4
7
9
2
3
3
子 价
m inW3y19y2 y*1=5/3, y*2=1/3
即工时的影子价格为5/3，
分 施中上述状况发生了改变，则决策者所关 心的是目前所执行的计划还是不是最优，
析 如果不是应该如何修订原来的最优计划。
更进一步，为了防止在各类状
况发生时，来不及随时对其变
化作出反应，即所谓“计划不
灵
如变化快”，企业应当预先了
敏
解，当各项因素变化时，应当 作出什么样的反应。
度
分
析
设线性规划问题：
maxZ=CX
格 举
y1 y2 2
s
.t
.
y1 y1
4 7
y2 y2
3 3
材料的影子价格为1/3。
如果目前市场上材料的价 格低于1/3，则企业可以 购进材料来扩大生产，反
例
y 1 0 , y 2 0 之可以卖掉部分材料。
如果有客户以高于5/3
的价格购买工时，则可以
出售一些工时，反之则反
和市场价格的比较
点
随之改变。
在生产计划问题的一般形式中，A代
表企业的技术状况，b代表企业的资源状况，
而C代表企业产品的市场状况，在这些因
灵 素不变的情况下企业的最优生产计划和最 大利润由线性规划的最优解和最优值决定。
敏
在实际生产过程中，上述三类因素均是
度 在不断变化的，如果按照初始的状况制订 了最佳的生产计划，而在计划实施前或实
3 3
3≤b2 ≤12
增加一个变量
若企业在计划期内，有新的产品可
灵
以生产，则在知道新产品的单位利 润，单件资源消耗量时，可以在最
敏
优表中补充一列，其中的前m行可
度
以由基矩阵的逆矩阵得到，而检验 数行也可以由与其它列相同的方法
分
计算得到。若检验数非正，则原最
析
优解仍为最优，原生产计划不变， 不生产这种新产品；否则，当检验
影
它反映了在最优经济结构中， 在资源得到最优配置前提下，
子
资源的边际使用价值。
价
单纯形表中松弛变量所对应的
格
检验数的相反数是在该经济结
构中的影子价格，也可以说对
偶问题的最优解向量是结构中
的影子价格。
定理1：在某项经济活动中，在资源
得到最优配置条件下，
影
m
子
若xj〉0，则有 aij yj c j ; i=1
3 x2
2
01
2 -1/3 1/3
－Ｚ
-8
0 0 C3-1-4 -5/3 -1/3
如果C3>4,则目前解不再是最优解,应该用单纯形方 法继续求解,否则解不变。即对于C3而言,使最优解 不变的条件是C3≤4。
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
价值系数CN发生改变
cj
23
5
XB
xj x1 x2
x3
CB
-1 4/3 -1/3 2 -1/3 1/3 -1 -5/3 -1/3
4 B19b1331
13319b1334b1b1/33
9/4≤b1 ≤9
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
cj
233
0
0
XB
xj x1 x2 x3
x4
x5
CB
b
0 x4
2
111
1
0
0 x5
9
147
0
1
2 x1 -1/3 1 0 -1 4/3 -1/3
4 1
B193
331
3 1
3
93
12
4 B1N3 31
1 3 317 1
1 0
1 021
4
3 1
3
1 3 1 3
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
XB CB
0 x4 0 x5
cj
233 0 0
xj x1 x2 x3
x4
X5
b
3
111 1 0
9
147 0 1
2 x1
1
1 0 -1 4/3 -1/3
价
m
若 aij yj c j ,则有xj =0
格
i=1
此定理的经济意义：
的 （1）若生产一个单位第j种产品按消耗
基
资源的影子价格计算的支出等于销售 一个单位该产品所得收入，则可生产
本 此产品。
性 （2）如果生产一个单位的第j种产品按
质
所消耗资源的影子价格计算的支出大 于销售一个单位该产品得到的收入，
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
价值系数CB发生改变
cj
C21 3 3
0
XB
xj x1 x2 x3
x4
CB
b
0 x4
3
111
1
0 x5
9
147
0
0
x5
0 1
C21 x1
1
1 0 -1 4/3
-1/3
3 x2
2
0 1 2 -1/3
1/3
－Ｚ
-8
0 0 C1-1-3 1-4-5//33C1 1/3-1C/31-1
111
1
0
0 X5
6
036
-1
1
－Ｚ
-12 0 -1 -1 -4
0
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
cj
23
3
XB
xj
x1
x2
x3
CB
b
0 x4
b31
0 x5
9
11
1
14
7
00 x4 x5
10 01
2 x1 4b11/3-3 1 0
3 x2 3-b21/3 0 1 －Ｚ -3-5-b81/3 0 0
1
0
0 x5
9
147
0
1
2 x1
13
3 x2
-1
－Ｚ
-23
最小比值
1 0 -1 4/3 -1/3 0 1 2 -1/3 1/3 0 0 -1 -5/3 -1/3
5
2 X1
9
147
0
1
0 X4
3
0 -3 -6
1
-1
－Ｚ
-18 0 -5 -11 0
-2
灵 敏 度 分 析
例2－7 线性规划
右端常数b发生改变
价。
当B是原问题的最优基时，Y=CBB-1 就是影子价格向量。
工时
材料
影
单件利润
A
B
C 拥有量
1
1
1
3
1
4
7
9
2
3
3
子
价
m inW3y19y2
格
y1 y2 2
举 例
s
.t
.
y1 y1
ห้องสมุดไป่ตู้
4 7
y2 y2
3 3
y 1 0 , y 2 0
影子价格是根据资源在生产中 作出的贡献而作出的估价，这 种估价不是资源的市场价格。