函数的概念和函数的表示法
考点一：由函数的概念判断是否构成函数
函数概念：设 A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合
B 中都有唯一确定的数 f （x ）和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。
例 1. 下列从集合 A 到集合 B 的对应关系中，能确定 y 是 x 的函数的是（ ）
x
① A={x x ∈Z}，B={y y ∈ Z} ，对应法则 f ：x →y= ;
3
② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈ R} ，对应法则 f ：x → y 2 =3x;
A=R,B=R, 对应法则 f ：x →y= x 2;
A ．①②③④
B ．①②③
C ．②③
D ．②
考点二：同一函数的判定
函数的三要素：定义域、对应关系、值域。
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。
例 2. 下列哪个函数与 y=x 相同（ ）
变式 1. 列图像中，是函数图像的是（
② 变式 2. 已知函数 y=f （ x ），则对于直线 x=a （a 为常数）
A. y=f （ x ）图像与直线 x=a 必有一个交点 C.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最少有一个交点 变式 4. 对于函数 y ＝f （x ） ，以下说法正确的有⋯
（ ①y 是 x 的函数 ②对于不同的 x ，y 的值也不同 ③f （a ） 表示当 x ＝ a 时函数 f （x ） 的值，是一个常量 A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D 变式 5．设集合 M ＝{x|0 ≤x ≤ 2} ，N ＝ {y|0 ≤y ≤2}，那么下面的 4 个图形中，能表示集合 M 到集合 N 的函
，以下说法正确的是（ B.y=f （ x ）图像与直线 x=a 没有交点 D.y=f （ x ）图像与直线 x=a 最多有一个交点 ④ f （x ） 一定可以用一个具体的式子表示出来 ． 4 个
y 2x 1，x ∈ Z 与 y 2x 1， x ∈Z
①. y=x② . y x2③ . y x④ .y=t⑤.y3x3；⑥ . y x 变式 1. 下列各组函数表示相等函数的是（）
A. y x 9与y x 3
B.y x21与y x 1
x3
C. y x0（x≠0）与y 1 （x≠0）
D.
变式 2. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
1)y1 (x 3)(x 5)
x3
y2 x 5 2) y1 x 1 x 1 y2 (x 1)(x 1)
3) f1(x) ( 2x 5)2f2 (x) 2x 5
考点三：求函数的定义域
（1）当 f （x）是整式时，定义域为R；
（2）当 f （x）是分式时，定义域是使分母不为0 的x 取值集合；
（3）当 f （x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合；
（4）当 f （x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0 的x取值集合；（5）当 f （x）是对数式时，定义域是使真数大于0 且底数为不等于 1 的正数的x 取值集合；
例 3. ①函数y 1 x x2 1 的定义域是（）
A. 1,1
B. ( -1 , 1 )
C. [ -1 , 1 ]
D. (
1
②函数y＝x＋1＋的定义域是( 用区间表示) _______
2－x
∞ ,-1 ) ∪ ( 1 ,+ ∞ )
变式 1. 求下列函数的定义域
(1) f(x) 1；(2)
x2 f (x) 3x 2 ；(3) f(x) x 1 1 2x
(4) y (5)
1
y＝| x|－2；
求复合函数的定义域
例 5. 已知函数 f （2x 1）定义域为1,3 , 求 f （x）的定义域
变式 1. 已知函数f（x 1 ）的定义域为[ 0 ，3 ] ，求 f （x）的定义域0
变式 2. 已经函数 f （x）定义域为[ 0 , 4], 求 f x2的定义域
考点四：求函数的值域
例6．求下列函数的值域
① y 3x 1 ，x ∈{1，2 ,3 ，4，5 } （观察法）
22
②y x 4x 6 ，x∈1,5 （配方法：形如y ax bx c ）
变式 1. 求下列函数的值域
① y 2x24x 3 ② f（x） 2x23x 4 （ 1 x 2）考点五：求函数的解析式
2
例7 . 已知f（x）= x22x，求f（x 1）的解析式（代入法/ 拼凑法/换元法）
变式 1. 已知 f （x）= 2x 1，求 f （x2）的解析式
变式 2. 已知 f （x+1）= x23x 3，求 f （x）的解析式
变式 3. 已知f（ x 1）x 2 x ，试求f（x）的解析式.
例8. 若 f [ f （x）] = 4x+3 ，求一次函数 f （x ）的解析式（待定系数法）
变式 1.一次函数f（x）满足f[ f（x）] 4x 5 ，求该函数的解析式.
变式2．已知f（x）是二次函数，且f（0）=2 ，f（x+1）－f（x）=x －1，求f（x）的解析式.
变式 3．已知二次函数 f （x ）＝x 2－bx ＋c 满足 f （1＋x ）＝f （1－x ）， 且f （0）＝3，求 f （x ）解析式 .
变式 4.已知函数 f （x ）是一次函数，且满足 3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求 f （x ）
1
= 3x ，求函数 f （ x ）的解析式 x
x1
考点六：
函数的求值
例 11. 已经函数 f （ x ）
=
3 2x 3
x ，求 f （2）和 f （a ）+f （ a ）的值 变式 1. 1
2
x
的值
已知 f （2x ）=
x
，求 f （ 2）
x
例
12. 已知函数 f x 5x 1 x 0
3x 2 x 0
例 9. 已知 f （ x ） 2 f （ x ） = x ，求函数 f （ x ）的解析式 消去法 / 方程组法 ）
变式 1. 已知 2 f （x ）
x ）= x+1 ，求函数 f （ x ）的解析式
变式 2. 已知 2 f （x ）
，求 f （ 1）+f （ 1）的值
变式 1. 已知函数 f x f x 2 x 1
2x 2 1 x 1
，求 f [f （ 4）]的值
n
变式 2.已知函数f n 1，求 f （5）的值
f (n 2)
2
n
2 x x (,1]1
例设函数f x，求满足 f （x）= 的x 值
l og81x, x (1, )
x x 1 变式 1. 已知函数f x
x x 1
考点七：映射
1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f :x 2x 1
2)设A N*,B { 0,1} ，对应法则f :x x除以2得的余数
3) A N ，B {0,1,2} ，f :x x被3除所得的余数
111
4)设X {1,2,3,4},Y {1, , , } f :x x取倒数
234
5) A {x|x 2,x N}, B N ，f :x 小于x的最大质数
例1．判断下列对应是否是映
射？
变式 1. 判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
，若 f （x）=2，求x 的值
自主练习题
x02
x y
2．设集合P= 4 ,Q= y 0, 由以下列对应 f 中不．能．构成 A 到 B 的映射的
是
1
A．y x
2
1 yx
3
3．下列各组函数中，表示同一函数的
是
x
A．y 1,y B ．y x
x
2
yx D
3
1
y x
8
x 1, y x2 1 C ．y x,y 3 x3D ．y |x|,y ( x) 2
4．函数y f (x) 的图象与直线x1的公共点数目是
(
A．1 B ．0 C ．0 或1 D ．1或2
5．设函数 f (x) 2x 3,g(x 2) f (x)，则g(x) 的表达式是(
A．2
x
1 B．2x 1 C ．2x 3 D ．2x 7
6．若函数 f (x)
7．已知函数f(x)
8．若函数f (2x
3x
2
(x
0(x
4(x
0)
0)
0)
，则f(f (0))=
1
)
9．求下列函数的定义
域
1) y x 8
5) y
2x
(x
(x
0)，若f(x) 10,则x
0)
2
x22x，则f (3)=
3x 2) y x2
x
2
4
(x 1)0
6) f(x)
3 x 1
x1。