第一章三、计算题1-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。

解答：0002200000224211()d sin d sin d cos T TT Tx x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T TT ωT ωπ====-==⎰⎰⎰222200rms000111cos 2()d sin d d 22T T Tx x ωtx x t t x ωt t t T T T-====⎰⎰⎰1-3求指数函数的频谱。

解答：(2)220220(2)()()(2)2(2)a j f tj f t at j f t e A A a j f X f x t e dt Ae e dt A a j f a j f a f -+∞∞---∞-∞-=====-+++⎰⎰πππππππ22()(2)k X f a f π=+Im ()2()arctanarctanRe ()X f ff X f a==-πϕ1-5求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。

0cos ()0ωtt T x t t T⎧<⎪=⎨≥⎪⎩单边指数衰减信号频谱图f|X (f )|A /φ(f) f0 π/2-π/2解：0()()cos(2)x t w t f t =πw(t)为矩形脉冲信号()2sinc(2)W f T Tf =π()002201cos(2)2j f t j f tf t e eπππ-=+ 所以002211()()()22j f tj f t x t w t e w t e -=+ππ根据频移特性和叠加性得：000011()()()22sinc[2()]sinc[2()]X f W f f W f f T T f f T T f f =-++=-++ππ可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f 0，同时谱线高度减小一半。

也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。

1-6 求指数衰减信号0()sin atx t eωt -=的频谱解答：fX (f )Tf-f 0 被截断的余弦函数频谱 指数衰减信号x (t )()0001sin()2j t j tt e e j-=-ωωω所以()001()2j t j tatx t e e e j--=-ωω单边指数衰减信号1()(0,0)atx t ea t -=>≥的频谱密度函数为11221()()j t at j t a j X f x t e dt e e dt a j a ∞∞----∞-====++⎰⎰ωωωωω根据频移特性和叠加性得：[]001010222200222000222222220000()()11()()()22()()[()]2[()][()][()][()]a j a j X X X j j a a a a ja a a a ⎡⎤---+=--+=-⎢⎥+-++⎣⎦--=-+-+++-++ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω1-7 设有一时间函数f (t )及其频谱如图1-27所示。

现乘以余弦型振荡00cos ()m ωt ωω>。

在这个关系中，函数f (t )叫做调制信号，余弦振荡0cos ωt 叫做载波。

试求调幅信号0()cos f t ωt 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。

又问：若0m ωω<时将会出现什么情况？解：0()()cos()x t f t t =ω()[()]F f t =ωF()0001cos()2j t j tt e e-=+ωωω 所以0011()()()22j t j t x t f t e f t e -=+ωω根据频移特性和叠加性得： 0011()()()22X f F F =-++ωωωω可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频ω0，同时谱线高度减小一半。

若0m ωω<将发生混叠。

1-8求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2x ψ和概率密度函数p (x )。

解答：(1)000011lim()d sin()d 0T T x T μx t t x ωt φt T T →∞==+=⎰⎰，式中02πT ω=—正弦信号fX (f )ω-ω0矩形调幅信号频谱 图1-27 题1-7图ωF (ω)f (t )0 t -ωmωm周期(2)22222200000111cos 2()lim ()d sin ()d d 22T T T xT x x ωt φψx t t x ωt φt t T T T →∞-+==+==⎰⎰⎰(3)在一个周期内012ΔΔ2Δx T t t t =+=0002Δ[()Δ]limx x T T T tP x x t x x T T T →∞<≤+===Δ0Δ000[()Δ]2Δ2d ()limlim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+====四、判断题1.非周期信号不是确定性信号。

( X)2.δ(t) 的频谱为Δ(f)=1.(V )3.因为非周期信号是周期无限大的周期信号，所以它的频谱和周期信号一样是离散的。

( X)4.当信号的时间尺度压缩时，其频谱的频带加宽、幅值增高。

( X)5.各态历经随机过程是平稳随机过程。

(V )6.具有离散频谱的信号不一定是周期信号。

（V ）7.在频域中每个信号都需要同时用幅频谱和相频谱来描述。

（V ）正弦信号x x参考答案 (本答案仅供参考哦) 一、选择题1.B2.C3.A4.C5.B6.C7.C8.C9.C 10.C 11.D 12.C 13.B 14.A 15.B 16.C 17.C 18.B 19.C 20.B 二、填空题1.周期信号；非周期信号；离散的；连续的2. 均方根值；均方值3. 傅氏三角级数中的各项系数（0,,,n n n a a b A 等 ）傅氏复指数级数中的各项系数（,,n nnc c c -）。

4.0；+∞；–∞；+∞5. 衰减n a —余弦分量的幅值；n b —正弦分量的幅值；0a —直流分量；n A -- n 次谐波分量的幅值；n ϕ--n 次谐波分量的相位角；0n ω--n 次谐波分量的角频率 7.A ；A/2；更慢；工作频带 8.sin j f e c f πττπτ-⋅⋅9.展宽；降低；慢录快放 10.1；等强度；白噪声11.实频；虚频 . 12.能量有限；能量有限；功率有限 13.5e- 14.12()()x t x t d ττ∞-∞⋅-⎰15.0()x tt -；把原函数图象平移至 位置处 16. 0()f t ；脉冲采样 .17.0()f f δ- 18.12()()X f X f * 19.2()()j tX f X f e df π∞-∞=⋅⎰第二章四、计算题2-1进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9nC/MPa ，将它与增益为0.005V/nC 的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为20mm/V 。

试计算这个测量系统的总灵敏度。

当压力变化为3.5MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即S =90.9(nC/MPa)⨯0.005(V/nC)⨯20(mm/V)=9.09mm/MPa 。

偏移量：y=S3.5=9.093.5=31.815mm 。

2-2用一个时间常数为0.35s 的一阶装置去测量周期分别为1s 、2s 和5s 的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？解：设一阶系统1()1H s s τ=+，1()1H j ωτω=+()()A H ωω===T 是输入的正弦信号的周期稳态响应相对幅值误差()1100%A δω=-⨯，将已知周期代入得58.6%1s 32.7%2s 8.5%5s T T T δ=⎧⎪≈=⎨⎪=⎩2-3求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t −45)通过传递函数为H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。

解：1()10.005H j ωω=+，()A ω=，()arctan(0.005)ϕωω=-该装置是一线性定常系统，设稳态响应为y (t )，根据线性定常系统的频率保持性、比例性和叠加性得到y (t )=y 01cos(10t +ϕ1)+y 02cos(100t −45︒+ϕ2)其中0101(10)0.50.499y A x ==≈，1(10)arctan(0.00510) 2.86ϕϕ==-⨯≈-︒0202(100)0.20.179y A x ==≈，2(100)arctan(0.005100)26.57ϕϕ==-⨯≈-︒所以稳态响应为()0.499cos(10 2.86)0.179cos(10071.57)y t t t =-︒+-︒2-5想用一个一阶系统做100Hz 正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数应取多少？若用该系统测量50Hz 正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？ 解：设该一阶系统的频响函数为1()1H j ωτω=+，τ是时间常数则()A ω=稳态响应相对幅值误差()1100%1100%A δω⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎝令δ≤5%，f =100Hz ，解得τ≤523μs 。

如果f =50Hz ，则相对幅值误差：1100%1100% 1.3%δ⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯≈⎝⎝相角差：6()arctan(2)arctan(25231050)9.33f ϕωπτπ-=-=-⨯⨯⨯≈-︒2-6试说明二阶装置阻尼比多采用0.6~0.8的原因。

解答：从不失真条件出发分析。

在0.707左右时，幅频特性近似常数的频率范围最宽，而相频特性曲线最接近直线。

2-9试求传递函数分别为1.5/(3.5s + 0.5)和41n2/(s2 + 1.4ns + n2)的两环节串联后组成的系统的总灵敏度（不考虑负载效应）。

解：11 1.53() 3.50.57171K H s s s s ===+++，即静态灵敏度K 1=32222222241() 1.4 1.4n n n n n n K H s s s s s ωωωωωω==++++，即静态灵敏度K 2=41因为两者串联无负载效应，所以总静态灵敏度K = K 1 ⨯ K 2 = 3 ⨯ 41= 1232-10设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。

已知传感器的固有频率为800Hz ，阻尼比=0.14，问使用该传感器作频率为400Hz 的正弦力测试时，其幅值比A()和相角差()各为多少？若该装置的阻尼比改为=0.7，问A()和()又将如何变化？解：设222()2n n n H s s ωωζωω=++，则222()12n n A ωωωζωω=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22()arctan1nn ωζωϕωωω=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，即222()12n n A f f f f f ζ=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22()arctan1nn f f f f f ζϕ=-⎛⎫- ⎪⎝⎭将f n = 800Hz ，ζ = 0.14，f = 400Hz ，代入上面的式子得到 A (400) ≈ 1.31，ϕ(400) ≈ −10.57︒如果ζ = 0.7，则A (400) ≈ 0.975，ϕ(400) ≈ −43.03︒例 2.测试系统分别由环节的串联、并联构成，如下图所示，求图示各系统的总灵敏度。