第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【考纲下载】1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p与q互为充要条件．(3)若p⇒/ q，且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．1．一个命题的否命题与这个命题的否定是同一个命题吗？提示：不是，一个命题的否命题是既否定该命题的条件，又否定该命题的结论，而这个命题的否定仅是否定它的结论．2．“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的说法相同吗？提示：两者说法不相同．“p的一个充分不必要条件是q”等价于“q是p的充分不必要条件”，显然这与“p是q的充分不必要条件”是截然不同的．1．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 当a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B；反之，当A⊆B时，a＝2或3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是( )A．“若x＜y，则x2＜y2” B．“若x＞y，则x2＞y2”C．“若x≤y，则x2≤y2” D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：选C 根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．3．(教材习题改编)命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选D 原命题为真，则它的逆否命题为真，逆命题为“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实根，则b2－4ac＞0”，为真命题，则它的否命题也为真．4．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析：选B 原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是B选项．5．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是( )A．a＞b＋1 B．a＞b－1 C．a2＞b2 D．a3＞b3解析：选A 由a＞b＋1，且b＋1＞b，得a＞b；反之不成立.[例1]A．若x＞1，则x≤0B．若x≤1，则x＞0C．若x≤1，则x≤0D．若x＜1，则x＜0(2)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数[自主解答] (1)因为“x＞1”的否定为“x≤1”，“x＞0”的否定为“x≤0”，所以命题“若x＞1，则x＞0”的否命题为：“若x≤1，则x≤0”．(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．[答案] (1)C (2)C【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题，并判断其真假性．解：逆命题：若x＋y是偶数，则x，y都是偶数．是假命题．否命题：若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数．是假命题．【方法规律】判断四种命题间关系的方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．(2)原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用．1．命题p：“若a≥b，则a＋b＞2 012且a＞－b”的逆否命题是( )A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＜bB．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a＞bC．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜bD．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a≤b解析：选C “且”的否定是“或”，根据逆否命题的定义知，逆否命题为“若a＋b≤2 012或a≤－b，则a＜b”．2．下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D ．命题“若x 2＞0，则x ＞1”的逆否命题解析：选A A 中逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”是真命题；B 中否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”是假命题；C 中否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”是假命题；D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题．[例2] (1)下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x ＜y ，则x 2＜y 2(2)(2014·济南模拟)在空间中，给出下列四个命题：①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；②若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面；③两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线；④两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一直线必垂直于另一平面内的无数条直线． 其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④[自主解答] (1)取x ＝－1排除B ；取x ＝y ＝－1排除C ；取x ＝－2，y ＝－1排除D ，故选A.(2)对于①，由线面垂直的判定可知①正确；对于②，若点在平面的两侧，则过这两点的直线可能与该平面相交，故②错误；对于③，两条相交直线在同一平面内的射影可以为一条直线，故③错误；对于④，两个相互垂直的平面，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条与交线垂直的直线，故④正确．综上可知，选D.[答案] (1)A (2)D【方法规律】命题的真假判断方法(1)给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．给出下列命题：①函数y ＝sin(x ＋k π)(k ∈R )不可能是偶函数；②已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n－1(a ∈R ，a ≠0)，则数列{a n }一定是等比数列； ③若函数f (x )的定义域是R ，且满足f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x )是以4为周期的周期函数；④过两条异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交．其中所有正确的命题有________(填正确命题的序号)．解析：①当k ＝12时，y ＝sin(x ＋k π)就是偶函数，故①错；②当a ＝1时，S n ＝0，则a n 的各项都为零，不是等比数列，故②错；③由f (x )＋f (x ＋2)＝3，则f (x ＋2)＋f (x ＋4)＝3，相减得f (x )－f (x ＋4)＝0，即f (x )＝f (x ＋4)，所以f (x )是以4为周期的周期函数，③正确；④过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故④错．综上所述，正确的命题只有③.答案：③1．充分条件、必要条件是每年高考的必考内容，多以选择题的形式出现，难度不大，属于容易题．2．高考对充要条件的考查主要有以下三个命题角度：(1)判断指定条件与结论之间的关系；(2)探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；(3)与命题的真假性相交汇命题．[例3] (1)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·四川高考)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a|＝b |b|成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a∥bC ．a ＝2bD ．a∥b 且|a|＝|b|(3)给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真．命题的序号是________． [自主解答] (1)当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ，则曲线y ＝－sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇒“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”；当φ＝2π时，y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，则曲线y ＝sin 2x 过坐标原点，所以“φ＝π”⇐/“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”，所以“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．(2)a |a |，b |b |分别是与a ，b 同方向的单位向量，由a |a |＝b|b |，得a 与b 的方向相同．而a ∥b 时，a 与b 的方向还可能相反．故选C.(3)对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n ＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b ＞a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b ＞a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.[答案] (1)A (2)C (3)①④充要条件问题的常见类型及解题策略(1)判断指定条件与结论之间的关系．解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件．解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件，然后再验证得到的必要条件是否满足充分性．(3)充要条件与命题真假性的交汇问题．依据命题所述的充分必要性，判断是否成立即可．1．(2014·西安模拟)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若[x ]＝[y ]，则|x －y |＜1；反之，若|x －y |＜1，如取x ＝1.1，y ＝0.9，则[x ]≠[y ]，即“[x ]＝[y ]”是“|x －y |＜1成立”的充分不必要条件．2．已知p ：1x －1<1，q ：x 2＋(a －1)x －a >0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，－1]B ．[－2，－1]C ．[－3,1]D ．[－2，＋∞)解析：选A 不等式1x －1<1等价于1x －1－1<0，即x －2x －1>0，解得x >2或x <1，所以p 为(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x 2＋(a －1)x －a >0可以化为(x －1)(x ＋a )>0，当－a ≤1时，解得x >1或x <－a ，即q 为(－∞，－a )∪(1，＋∞)，此时a ＝－1；当－a >1时，不等式(x －1)(x ＋a )>0的解集是(－∞，1)∪(－a ，＋∞)，此时－a <2，即－2<a <－1.综上可知a 的取值范围为(－2，－1]．3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0的根为x ＝4±16－4n 2＝2±4－n ，因为x 是整数，即2±4－n 为整数，所以4－n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N *，取n ＝1,2,3,4，验证可知n ＝3,4符合题意，所以n ＝3,4时可以推出一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根．答案：3或4——————————[课堂归纳——通法领悟]———————————1个区别——“A 是B 的充分不必要条件”与“A 的充分不 必要条件是B ”的区别 “A 是B 的充分不必要条件”中，A 是条件，B 是结论；“A 的充分不必要条件是B ”中，B 是条件，A 是结论．在进行充分、必要条件的判断中，要注意这两种说法的区别．2条规律——四种命题间关系的两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假．(2)当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．同时要关注“特例法”的应用．3种方法——判断充分条件和必要条件的方法(1)定义法；(2)集合法；(3)等价转化法．方法博览(一)三法破解充要条件问题1．定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p ，则q ”与“若q ，则p ”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系．[典例1] 设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 由0＜x ＜π2可知0＜sin x ＜1，分别判断命题“若x sin 2x ＜1，则x sin x ＜1”与“若x sin x ＜1，则x sin 2x <1”的真假即可．[解析] 因为0<x <π2，所以0<sin x <1，不等式x sin x <1两边同乘sin x ，可得x sin 2x <sin x ，所以有x sin 2x <sin x <1.即x sin x <1⇒x sin 2x <1；不等式x sin 2x <1两边同除以sin x ，可得x sin x <1sin x ，而由0<sin x <1，知1sin x>1，故x sin x <1不一定成立，即x sin 2x <1⇒/ x sin x <1.综上，可知“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的必要不充分条件．[答案] C[点评] 判断p 、q 之间的关系，只需判断两个命题A ：“若p ，则q ”和B ：“若q ，则p ”的真假．(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；(2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；(4)若p ⇒q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的充分不必要条件；(5)若p ⇒/ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．2．集合法集合法就是利用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的方法．主要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题．[典例2] 若A ：log 2a <1，B ：x 的二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一根小于零，则A 是B 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解题指导] 分别求出使A 、B 成立的参数a 的取值所构成的集合M 和N ，然后通过集合M 与N 之间的关系来判断．[解析] 由log 2a <1，解得0<a <2，所以满足条件A 的参数a 的取值集合为M ＝{a |0<a <2}；而方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f (0)<0，即a －2<0，解得a <2，即满足条件B 的参数a 的取值集合为N ＝{a |a <2}，显然M N ，所以A 是B 的充分不必要条件．[答案] B[点评] 利用集合间的关系判断充要条件的方法记法条件p 、q 对应的集合分别为A 、B 关系 A ⊆B B ⊆A A ⊂ BB ⊂ A A ＝B A ⊄ B 且B ⊄ A 结论 p 是q 的充分条件 p 是q 的必要条件 p 是q 的充分不必要条件 p 是q 的必要不充分条件 p 是q 的充要条件p 是q 的既不充分也不必要条件 3.等价转化法等价转化法就是在判断含有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．[典例3] 已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2－x <a 2－a ，且⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，则a 的取值范围是________．[解题指导] “⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ”等价于“p 是q 的一个必要不充分条件”．[解析] 由4x －1≤－1，得－3≤x <1.由x 2－x <a 2－a ，得(x －a )[x ＋(a －1)]<0， 当a >1－a ，即a >12时，不等式的解为1－a <x <a ；当a ＝1－a ，即a ＝12时，不等式的解为∅；当a <1－a ，即a <12时，不等式的解为a <x <1－a . 由⌝q 的一个充分不必要条件是⌝p ，可知⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，即p 为q 的一个必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．当a >12时，由{x |1－a <x <a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤1－a ，1≥a ，解得12<a ≤1； 当a ＝12时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件； 当a <12时，由{x |a <x <1－a }{x |－3≤x <1}，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤a ，1≥1－a ，解得0≤a <12. 综上，a 的取值范围是[0,1]．[答案] [0,1][点评] 条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.p 、q 之间的关系p ⌝和q ⌝之间的关系 p 是q 的充分不必要条件p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 p 是q 的必要不充分条件p ⌝是q ⌝的充分不必要条件 p 是q 的充要条件p ⌝是q ⌝的充要条件 p 是q 的既不充分也不必要条件p ⌝是q ⌝的既不充分也不必要条件[全盘巩固]1．“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”，其否命题是 ( )A ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根B ．若b 2－4ac ＞0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根C ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根D ．若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根解析：选C 由原命题与否命题的关系可知，“若b 2－4ac ＜0，则ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”的否命题是“若b 2－4ac ≥0，则ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．2．f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为f (x )，g (x )均为偶函数，可推出h (x )为偶函数，反之，则不成立．3．(2014·黄冈模拟)与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是( )A ．若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠acB ．若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠acC ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列D ．若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列解析：选D 因为原命题与其逆否命题是等价的，所以与命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”等价的命题是“若b 2≠ac ，则a ，b ，c 不成等比数列”．4．设a ＞0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A “函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”的充要条件是p ：0＜a ＜1.因为g ′(x )＝3(2－a )x 2，而x 2≥0，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是2－a ＞0，即a ＜2.又因为a ＞0且a ≠1，所以“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充要条件是q ：0＜a ＜2且a ≠1.显然p ⇒q ，但q ⇒/ p ，所以p 是q 的充分不必要条件，即“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．5．(2014·南昌模拟)下列选项中正确的是( )A ．若x ＞0且x ≠1，则ln x ＋1ln x≥2 B ．在数列{a n }中，“|a n ＋1|＞a n ”是“数列{a n }为递增数列”的必要不充分条件C ．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”D ．若命题p 为真命题，则其否命题为假命题解析：选B 当0＜x ＜1时，ln x ＜0，此时ln x ＋1ln x≤－2，A 错；当|a n ＋1|＞a n 时，{a n }不一定是递增数列，但若{a n }是递增数列，则必有a n ＜a n ＋1≤|a n ＋1|，B 对；全称命题的否定为特称命题，C 错；若命题p 为真命题，其否命题可能为真命题，也可能为假命题，D 错．6．已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析：选A 令A ＝{x |2x －1≤1}，得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1⇒0≤a ≤12. 7．在命题p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f (p )，已知命题p ：“若两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0，l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，则a 1b 2－a 2b 1＝0”．那么f (p )＝________.解析：原命题p 显然是真命题，故其逆否命题也是真命题，而其逆命题是：若a 1b 2－a 2b 1＝0，则两条直线l 1：a 1x ＋b 1y ＋c 1＝0与l 2：a 2x ＋b 2y ＋c 2＝0平行，这是假命题，因为当a 1b 2－a 2b 1＝0时，还有可能l 1与l 2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f (p )＝2.答案：28．下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题；③在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的充分不必要条件； ④“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π(k ∈Z )”．其中真命题的序号是________(把真命题的序号都填上)．解析：①原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，①是真命题；“若x 2＋x －6≥0，则x ＞2”的否命题是“若x 2＋x －6＜0，则x ≤2”，②也是真命题；在△ABC中，“A ＞30°”是“sin A ＞12”的必要不充分条件，③是假命题；“函数f (x )＝tan(x ＋φ)为奇函数”的充要条件是“φ＝k π2(k ∈Z )”，④是假命题． 答案：①②9．已知α：x ≥a ，β：|x －1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，由|x －1|＜1，得0＜x ＜2，∴β可看作集合B ＝{x |0＜x ＜2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0.答案：(－∞，0]10．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，对命题“若a ＋b ≥0，则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0，则f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )．该命题是真命题，证明如下：∵a ＋b ＜0，∴a ＜－b ，b ＜－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b ，b ≥－a ，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ 716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34， 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 12．已知两个关于x 的一元二次方程mx 2－4x ＋4＝0和x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件．解：∵mx 2－4x ＋4＝0是一元二次方程，∴m ≠0.又另一方程为x 2－4mx ＋4m 2－4m －5＝0，且两方程都要有实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝161－m ≥0，Δ2＝16m 2－44m 2－4m －5≥0，解得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1. ∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ∈Z ，4m ∈Z ，4m 2－4m －5∈Z .∴m 为4的约数．又∵m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1，∴m ＝－1或1. 当m ＝－1时，第一个方程x 2＋4x －4＝0的根为非整数；而当m ＝1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m ＝1.[冲击名校]1．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但是y ＝f (x )不一定为奇函数，如取函数f (x )＝x 2，则函数y ＝|x 2|的图象关于y 轴对称，但函数f (x )＝x 2是偶函数不是奇函数，即“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”⇒/ “y ＝f (x )是奇函数”；若y ＝f (x )是奇函数，图象关于原点对称，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，即“y ＝f (x )是奇函数”⇒“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”，故应选B.2．已知下列各组命题，其中p 是q 的充分必要条件的是( )A ．p ：m ≤－2或m ≥6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点B ．p ：f －x f x＝1；q ：y ＝f (x )是偶函数 C ．p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan βD ．p ：A ∩B ＝A ；q ：A ⊆U ，B ⊆U ，∁U B ⊆∁U A解析：选D 对于A ，由y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，从而可得m ＜－2或m ＞6.所以p 是q 的必要不充分条件；对于B ，由f －x f x ＝1⇒f (－x )＝f (x )⇒y ＝f (x )是偶函数，但由y ＝f (x )是偶函数不能推出f －x f x＝1，例如函数f (x )＝0，所以p 是q 的充分不必要条件； 对于C ，当cos α＝cos β＝0时，不存在tan α＝tan β，反之也不成立，所以p 是q 的既不充分也不必要条件；对于D ，由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，所以∁U B ⊆∁U A ；反之，由∁U B ⊆∁U A ，知A ⊆B ， 即A ∩B ＝A .所以p ⇔q .综上所述，p 是q 的充分必要条件的是D.[高频滚动]1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |2x＞8}，那么集合(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |3＜x ＜4}B ．{x |x ＞4}C ．{x |3＜x ≤4}D ．{x |3≤x ≤4}解析：选C A ＝{x |x 2－3x －4＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞4}，所以∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，又B ＝{x |2x ＞8}＝{x |x ＞3}，所以(∁U A )∩B ＝{x |3＜x ≤4}．2．对于任意的两个正数m ，n ，定义运算⊙：当m ，n 都为偶数或都为奇数时，m ⊙n ＝m ＋n 2；当m ，n 为一奇一偶时，m ⊙n ＝mn .设集合A ＝{(a ，b )|a ⊙b ＝6，a ，b ∈N *}，则集合A 中的元素个数为________．解析：(1)当a ，b 都为偶数或都为奇数时，a ＋b 2＝6⇒a ＋b ＝12，即2＋10＝4＋8＝6＋6＝1＋11＝3＋9＝5＋7＝12，故符合题意的点(a ，b )有2×5＋1＝11个．(2)当a ，b 为一奇一偶时，ab ＝6⇒ab ＝36，即1×36＝3×12＝4×9＝36，故符合题意的点(a ，b )有2×3＝6个．综上可知，集合A 中的元素共有17个．答案：17。