注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y 注意：七大晶系中，单斜晶系先确定y轴，其它 晶系均先确定z 晶系均先确定z轴
思考： 思考：
能否根据各晶体晶体常数特点确定属于 何种晶系？ 何种晶系？
§3.3
对称型的国际符号
一、国际符号中对称要素的表示法
对称面：m 对称面： 对称轴：以轴次的数字表示， 对称轴：以轴次的数字表示， 如 1、2、3、4 和 6
Z
举例： 举例：
Y
X
答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） 答案（100）（100）（010）（010）（001）（001） ）（100）（010）（010）（001）（001
补充说明： 补充说明：
1）晶面符号中某指数为0，表示该晶面平行于相应晶轴。 晶面符号中某指数为0 表示该晶面平行于相应晶轴。 2）同一晶体中，如有两晶面，对应三组晶面指数的绝 同一晶体中，如有两晶面， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反， 对值全部相等，而正负号恰好全部相反，则两晶面必 相互平行。 相互平行。 3）同一晶面符号中，指数的绝对值越大，表示晶面在 同一晶面符号中，指数的绝对值越大， 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小； 相应结晶轴上的截距系数值（绝对值）越小；在轴单位 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。 相等的情况下，还表示相应截距的绝对长度也越短。
即：
◆ ◆ ◆
平行的对称轴或旋转反伸轴； 平行的对称轴或旋转反伸轴； 垂直的对称面； 垂直的对称面； 当这两类对称要素在同一方向上同时存在 则写成分式的形式。 分式的形式 时，则写成分式的形式。
晶
系
序 位 1 2 3 1
代表方向 x或y或z轴方向 三次轴方向 x、y或x、z或y、z轴之间 四次轴, 四次轴,即z方向 与四次轴垂直, 与四次轴垂直,在x或y轴方向 与四次轴垂直,并与位2 与四次轴垂直,并与位2成450 六次或三次轴,即z 方向 六次或三次轴, 与六次或三次轴垂直, 与六次或三次轴垂直,在x或y或u轴方向 与六次或三次轴垂直,并与位2 与六次或三次轴垂直,并与位2成300角 x轴方向 y轴方向 z轴方向 y轴方向 任意方向
2、四方晶系 、
选轴原则： 选轴原则：以L4或Li4为z轴，以垂直 轴并相 轴 以垂直z轴并相 互垂直的L 的法线或晶棱方向为x、 轴 互垂直的 2或P的法线或晶棱方向为 、y轴。 的法线或晶棱方向为
Z
Y X
晶体常数 a＝b≠c，α＝β＝γ＝９０0 ＝ ， ＝ ＝ ＝
3、斜方(正交)晶系 斜方(正交)
■举例：L44L25PC的国际符号的写法 5PC的国际符号的写法 举例：
5PC四方晶系 国际符号三个位的方向： 四方晶系， L44L25PC四方晶系，国际符号三个位的方向： 轴与Y轴的角平分线； Z轴、 X轴、 X轴与Y轴的角平分线； (4)和垂直 的对称面P(m) 写做4/m 和垂直L P(m)， 4/m； 第1位(Z轴) ：L4(4)和垂直L4的对称面P(m)，写做4/m； (Z轴 (2)和垂直 的对称面P(m) 写做2/m 和垂直L P(m)， 2/m； 第2位(X轴) ：L2(2)和垂直L2的对称面P(m)，写做2/m； (X轴 (2)和垂直 的对称面P(m) 和垂直L P(m)， 第3位(X轴与Y轴的角平分线)：L2(2)和垂直L2的对称面P(m)， (X轴与Y轴的角平分线) 轴与 写做2/m 2/m。 写做2/m。 将三个位的符号按照序位排列：4/m2/m2/m。 将三个位的符号按照序位排列：4/m2/m2/m。
z
y
x
a≠b≠c， ９０° ９０° 晶体常数 a≠b≠c，α＝γ＝９０°β＞９０°
5、三斜晶系
选轴原则：以不在同一平面内的 个主要晶棱 选轴原则：以不在同一平面内的3个主要晶棱 方向为x、 、 轴 方向为 、y、z轴
Z
Y X
a≠b≠c， ９０° 晶体常数 a≠b≠c，α≠β≠γ≠ ９０°
6、三方、六方晶系 三方、
根据国际符号判断该对称型属于何晶族晶系
1、首先看第二位是否为“3”，若为“3”（3代表4L3）， 首先看第二位是否为“3”，若为“3”（ 代表4L 则为高级晶族等轴晶系 2、第二位不是3，则看第一位。若第一位为高次轴符号， 第二位不是3 则看第一位。若第一位为高次轴符号， 则为中级晶族； 则为中级晶族；根据轴次高低判断属于相应晶系 3、符号中无高次轴符号，则为低级晶族。 符号中无高次轴符号，则为低级晶族。 则为三斜； 只出现 1 或 1，则为三斜； ≤1， ≤1，则为单斜； “2” ≤1，或“m” ≤1，则为单斜； “2”
2、轴单位与轴率
轴单位是晶轴的长度单位， 轴单位是晶轴的长度单位，也即作为晶轴的行列的结 点间距。 表示。 点间距。x、y、z轴上的轴单位分别以a0,b0,c0表示。 轴上的轴单位分别以a 轴率为轴单位之比即a:b:c 轴率为轴单位之比即a:b:c
3、晶体常数 晶体常数
轴率a:b:c及轴角合称为晶体常数。 轴率a:b:c及轴角合称为晶体常数。 a:b:c及轴角合称为晶体常数 表示晶体坐标系特征的一组参数
二、四轴定向时晶面符号
晶面符号一般写为（ 晶面符号一般写为（h k i l） a b d c h:k:i:l= : : :
OX OY OU OZ
选轴原则：相互垂直的3 选轴原则：相互垂直的3个L2为x、y、z轴； 2P中以 中以L 以两个P的法线为x 在L22P中以L2为z轴，以两个P的法线为x、y轴
Z
Y X
a≠b≠c， 晶体常数 a≠b≠c，α＝β＝γ＝９０o
4、单斜晶系
选轴原则： 的法线为y轴 以垂直y轴的 选轴原则：以L2或P的法线为 轴，以垂直 轴的 的法线为 主要晶棱方向为z、 轴 轴一般不正交） 主要晶棱方向为 、x轴（z与x轴一般不正交） 与 轴一般不正交
选轴原则： 以垂直z 选轴原则：以L6、Li6、L3为z轴，以垂直z轴并彼此相 交为120 的法线或晶棱方向为x 交为1200的3个L2或P的法线或晶棱方向为x、y、u轴
z
u
y x
b≠c， ９０° １２０° 晶体常数 a＝b≠c，α＝β＝９０°γ＝１２０°
总结－ 总结－晶体定向方法
1、根据晶体对称型，确定晶体属于何种晶系 根据晶体对称型， 2、对应各晶系定向原则，确定相应的x轴、y轴、z轴 对应各晶系定向原则，确定相应的x
旋转反伸轴：轴次数字上面加“ 旋转反伸轴：轴次数字上面加“-”号， 如 1 、2 、 3 、4 6 和 。
1 注意: 注意:由于1 = Li = C ，习惯用 1代表对称中心。 代表对称中心。
二、对称型的国际符号书写规则
按一定的顺序列出一定方向上的对称 要素,而省略了等同的和派生的对称要素 要素 而省略了等同的和派生的对称要素。
（4）去掉比号、以小括号括起来，写为(h k l)。 去掉比号、以小括号括起来，写为( 注意：若晶面交于晶轴负端，则在相应指数上方加“ 注意：若晶面交于晶轴负端，则在相应指数上方加“－”号
c
举例
Z
答案 (432)
O
Y
b
X
Z′
(433)
a
思考：若晶面平行于某一晶轴， 思考：若晶面平行于某一晶轴，相应晶面指数 如何写？ 如何写？
等轴晶系
四方晶系
2 3 1 2 3 1 2 3 单斜晶系 三斜晶系
■
举例： L2PC 的国际符号的写法 举例：
PC属于单斜晶系 只一个位，代表方向y 属于单斜晶系， L2PC属于单斜晶系，只一个位，代表方向y轴 第1位(y轴):一个L2和垂直L2的对称面P，写成 (y轴):一个L 和垂直L 的对称面P 一个 2 ／m 。 第二、第三位空着。 第二、第三位空着。 在此符号中没有写出C 在此符号中没有写出C，它可根据对称要素组 合定理推导出来。 合定理推导出来。
思考： 思考：
设有一晶体的晶面在三根晶轴上的截距之比 若这一晶体属于斜方晶系， 为1：1：1，若这一晶体属于斜方晶系，它 的晶面符号怎样？若是四方晶系、等轴晶系， 的晶面符号怎样？若是四方晶系、等轴晶系， 它的晶面符号又该怎样？ 它的晶面符号又该怎样？ 答案:斜方(hkl) 四方（hhl）等轴（111） 答案:斜方(hkl) 四方（hhl）等轴（111）
一、晶体定向的概念
晶体定向就是在晶体上选择坐标系统。 晶体定向就是在晶体上选择坐标系统。即选择 坐标轴（或称为结晶轴） 坐标轴（或称为结晶轴）和确定各坐标轴上的 单位长（轴单位）之比（轴率）。 单位长（轴单位）之比（轴率）。
Z Z
U Y X Y
X
交于晶体中心的三条轴，它们分别称为x 1、晶轴：交于晶体中心的三条轴，它们分别称为x、y、z 轴，晶轴之间的夹角称为轴角，分别表示为：α（y∧z）、 晶轴之间的夹角称为轴角，分别表示为： β（z∧x）、γ（x∧y）。 ）、γ 注意：三方晶系及六方晶系为四轴定向， 注意：三方晶系及六方晶系为四轴定向，在水平方向 上为x 三条互成120度夹角的坐标。 120度夹角的坐标 上为x、y、u三条互成120度夹角的坐标。
等同对称要素
借助于对称型中其他对称要素的变换作用 而相互重复的同种对称要素。
L3
P3
120° ° P3 P2 P1 P1 120° ° 120° ° P2
L33P
派生对称要素
根据对称要素组合定理由已知对称要素导出的 其他对称要素。
L2
C P
对称型的国际符号的书写： 对称型的国际符号的书写：
符号位数：是由不超过三个的位组成。 符号位数：是由不超过三个的位组成。 符号表示： 符号表示：每个位分别表示晶体该方向上所存在 的全部对称要素。 的全部对称要素。
一、三轴定向晶面符号确定
（1）按晶体定向原则进行晶体定向； 按晶体定向原则进行晶体定向； （2）求待标晶面在X、Y、Z轴上的截距 X 求待标晶面在X pa、qb、rc，得截距系数p、q、r ；