sin u
x
两边积分

cos u sin u
du


dx x
得
ln sin u ln x ln C sin u C x
故原方程的通解为 sin y C x y x arcsin Cx x
( 当C0时, y0也是方程的解)
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12
例6.2.5 解微分方程 dy x y
dy u x du du dx
dx
dx (u) u x
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11
例6.2.4 解微分方程 dy y tan y dx x x
解: 令 u y , 则y u x u, 代入原方程得 x u x u u tan u
分离变量
cos u du dx
解：在t到t+t这段时间内种群总数改变量为 y(t t) y(t) ny(t)t my(t)t
dy lim y(t t) y(t) (n m) y(t)
dt t0
t
采用可分离变量后,积分得
y Cert r ky
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7
由y(0)y0确定常数C,可得生物总群自然增长规律
y x tan( x C)
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15
6.2.2 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程
定义3 如果方程中未知函数的导数(微分)的最高 阶数是一阶的,且所含未知函数及导数(微分)都是 一次幂的,则称这种方程为一阶线性微分方程。
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
V e a
ln V0 V
C ln
V0
k
V ea
k eat 0
V Ve a
,
C


k a
V
k (1eat )
V V0e a
此为贡柏茨方程
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10
二、可化为分离变量的某些方程*
1. 齐次方程 形如 dy ( y )
dx x 则称原方程为齐次微分方程。
令 : u y , 则 y xu ,两端对x求导数 , 得 : x
dV dt
aV ln V V
,
V (0) V0,
a 0,
V
k
V0e a
确定肿瘤生长规律。08:349源自解：V(ln
dV V
ln
V
)

adt


V
(ln
dV V
ln
V
)


adt
ln(ln
V
ln V )
at C1
ln
V V
Ceat

V (0) V0,
k eat
第六章 常微分方程
已知 y f (x) , 求 y — 积分问题 推广
已知含 y 及其若干阶导数的方程 , 求 y — 微分方程问题
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1
6.1 微分方程的基本概念
几何问题 引例
物理问题
微分方程的基本概念
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2
一. 两个例子
例6.1.1 已知一曲线过点A(1,3),且该曲线上任 意点P(x,y)处的切线斜率为2x,求此曲 线的方程。
2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
改写为 dy Q(x) dx P(x)dx
yy
两边积分
ln
y


Q(x) y
dx

P(x)dx
令 Q(x) dx u(x) y eu(x)eP(x)dx y
6.2.1 可分离变量的微分方程
一、可分离变量的微分方程
形如 :
dy f (x) g( y)为可分离变量的微分方程 dx


dy g( y)


f
(x)dx
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5
例6.2.1 (细菌繁殖模型)在一个理想的环境中,细
胞的繁殖率与细菌的数目成正比,若t0时细菌
的数目为x0,求系统的细菌繁殖规律。 解： 设x(t)表示在t时刻细菌数目,依题意有
解:
dy dx

1 1
y
x y
dx x y 令u y , 则y u xu
x
代入原方程得
x u

xu

1
u

x
du

1
2u

u2
1 u dx 1 u
(1 u)du
1 2u u2

dx x
1 ln 1 2u u2 2
ln
x
C1
ln (1 2u u2 )x2 C2 (1 2u u2 )x2 C
若Q(x) 0,称为齐次方程 ; 若Q(x) 0,称为非齐次方程。
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16
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 故通解为
ln y P(x)dx C1
y Ce P(x)dx
P(x)dx 仅表示P(x)的一个原函数
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17
y

k

r Cert

r y
k r ky0 ert
y0
此式称为Logistic方 程,其曲线参考图为
y r t
k
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8
例6.2.3 (肿瘤生长模型)设V(t)是肿瘤体积。免疫 系统非常脆弱时,V呈指数式增长,但V长大到一定 程度后,因获取的营养不足使其增长受限制。描 述V的一种数学模型是：
dx kx (k 0) dt
两边积分

dx x


kdt
C 0或C eC1
ln x kt C1 即 x Cekt (C为任意常数) 又因x(0) x0为已知,故特解为 x x0ekt
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6
例6.2.2 (自然生长模型) yy(t)表示一种生物在时 间t时种群总数,开始时种群总数y(0)y0, n,m分别表 示该总群的出生率和死亡率,实践证明nmrky,其 中r>0, k>0,试求该总群自然生长规律。
例6.1.2 质量为m的物体从空中自由落下,若略 去空气的阻力，求物体下落的距离s 与时间t的函数关系s s(t)。
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3
二. 微分方程的几个概念
1. 微分方程 2. 微分方程的阶 3. 微分方程的解 4. 微分方程的通解 5. 微分方程的特解 6. 初始条件
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4
6.2 一阶微分方程
x2 2xy y2 C
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13
2. dy f (ax by c)型方程 dx
作变换
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14
例6.2.6 解微分方程 dy (x y)2 dx
解: 令z x y dz 1 dy dx dx
dz dx
1
z2

dz 1 z2

dx
arctan z x C z tan( x C)