求y解
例如,受连续分布横向荷载的变截面简支梁弯曲问题
d2w
dx2
M(x) EI(x)
w(0) w(l) 0
q(x)
O
x
w
l
其中 w(x)， — 挠度 E(Ix， )— 弯曲,l刚 —度 简支梁
●2. 初值问题
y f (x, y)
y(x0
)
y0
yf(x,y,y) y(x0)y0,y(x0)y0
第六章 常微分方程的数值解法
.
本章内容
§6.1 引言 §6.2 欧拉方法 §6.3 龙格—库塔方法 §6.4 边值问题的数值方法
§6.1 引言
一. 问题提出
有一个或多个导数及其函数的方程式称为微分 方程，在工程中常遇到求解微分方程的问题。
如，一阶常微分初方值程问的题 dy f(x,y) x[a,b] dx y(x0)y0
h
xi1
x
，有
i
xi x0 ih (i 0,1,2, , n )
§6.1 引言
即解函 y(x数 )在一些离散点
x0 x1x2 xn xn1
上的值y(x1) 的近似解
y(x2)yy1(yx2n ) y(yxnny1n)1yn
y(xn)
y
y f (x)
y0
x
x
x
x
x
h
x
0 x0
§6.1 引言
初值问题的数 点值 ：解 按法 节特 点顺 进序 ，依 由次
知的 0,yy1,,y， i 求i出 1 ，y这可以通过 得递 到推 。
初值 问题
的 常见 解法
单步法： 利用前一个单步的信息(一个点)，在y=f(x)
上找下一点yi， 有欧拉法，龙格－库格法。
预测校正法： 多步法，利用一个以上的前点信息求f(x)上
例如，单自由度系统的非线性受迫振动
m
d2x dt 2
c
dx dt
kx
x3
P(t)
x(0)
x0，ddxt
x x0
x0
x
m P (t)
实际问题中还存在初边值混合问题，如梁在横向激励下的 弯曲振动。
高阶常微分方程可以化成一阶的常微分方程组
y f (x, y)
y(x0
)
y0
只要函数 f ( x, y)适当光滑连续， 且关于 y满足李普希兹 ( Lipschitz )条件， 即存在常数 L，使得
2.00
0.40419
0.00
0.00000
0Hale Waihona Puke 400.352870.80
0.50049
1.20
0.50073
1.60
0.45425
2.00
0.40227
真值y(xi)
0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000 0.00000 0.34483 0.48780 0.49180 0.44944 0.40000
误差y(xi)-yi
0.00000 -0.03148 -0.05448 -0.03529 -0.01689 -0.00682 0.00000 -0.01603 -0.02590 -0.01781 -0.00928 -0.00419 0.00000 -0.00804 -0.01268 -0.00892 -0.00481 -0.00227
的下一个yi， 常用迭代法，如改进欧拉法，阿当姆斯法。
§6.2 欧拉方法及其改进 Euler’s Method
内容
一. 欧拉格式 二. Euler预估—校正法 三. 误差估计、收敛性和稳定性
§6.2 欧拉方法及其改进
6.2.1 欧拉公式：/* Euler’s Method */
向前差商近似导数
推进Pn1(xn1, yn1， ) 显然两个顶点P， n Pn1的坐标有关系
yn1 - yn xn1 - xn
f (xn, yn),
即yn1 yn hf (xn, yn)
这就是欧拉(Euler)公式。
y
y y(x)
P2 P3 P4 Pn
P1
P0
x O
§6.2 欧拉方法及其改进
例：利用 Euler 方法求初值问题
y
1 1 x2
2 y 2，0
x
2
y (0 ) 0
的数值解，此问题的精 确解是 y ( x ) x /( 1 x 2 )。
解：此时的 Euler 公式为
y
i
1
1
yi
h( 1
x
2 i
2
y
2 i
)
y 0 0 , i 0,1,2
分别取步长 h 0.2,0.1,0.05，计算结果如下表：
y(x0)y(x1) hy(x0)
记为
y ( x 1 ) y ( x 0 ) h y ( x 0 ) y 0 h f ( x 0 ,y 0 ) y 1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
几何意义：折线逼近解y y(x)曲线。
设已做出折线的顶点P， n 过Pn(xn, yn)依方向场的方向再
§h7.2 h=0.2 h=0.1 h=0.05
欧xi拉方法 yi
0.00
0.00000
0.40
0.37631
0.80
0.54228
1.20
0.52709
1.60
0.46632
2.00
0.40682
0.00
0.00000
0.40
0.36085
0.80
0.51371
1.20
0.50961
1.60
0.45872
解函数yy(x)
§6.1 引言
二. 两类定解问题
◆常微分方程的定解问题有两种基本类型类:初值问题 和边值问题
◆定解指已知因变量和/或其导数在某些点上是已知的 (约束条件)。
●1. 边值问题
约束条件为已知，在自变量的任一非初值上，已知 函数值和/或其导数值，如
yf(x,y,y) x [a,b]
y(a),y(b)
§6.2 欧拉方法及其改进
6.2.2 数值解法的截断误差估 计
f (x, y) f (x, y) L y y 由常微分方程理论知：
初值问题的解必存在且 唯一。
§6.1 引言
求精确解一般较为， 困求 难近似解 近似解析解 数值解（适合于计计 算算 机）
很多微分方程的解不能用初等函数来表示，有时 即使能够用解析式表示其解，但计算量太大而不实 用(表达式过于复杂)。
需要用数值方法来求解，一般只要求得到若干个 点上的近似值或者解的简单的近似表达式(精度要求 满足即可)。
§6.1 引言
y f (x, y)
y
(
x
0
)
y0
式 1
数值解 :
在
a x0 x1 xn b,
得到 y ( xi )的近似值 y i (i 0,1,2, , n )。
通常取等距节点，即