《二次函数》中考题型归类二次函数是初中数学的核心知识之一，也是中考的必考考点.考查的主要知识点有:二次函数的概念，二次函数解析式的三种表达形式，二次函数的图象及其性质，二次函数与一元二次方程和不等式的关系，用二次函数解决实际问题.为方便同学们学习，及时理解二次函数在中考中的地位，现以中考试题为例，对二次函数的典型题型进行展示与解析.一、二次函数的概念例1若函数2(1)42y a x x a =--+的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为.分析:题目中没有说明函数的类型，由于a 是变化的，因此这个函数可能是二次函数，也可能是一次函数，前者的条件是1a ≠，后者的条件是1a =，所以需要进行分类讨论.解:①当1a ≠时，函数2(1)42y a x x a =--+是二次函数，由它的图象与x 轴有且只有一个交点，得2(4)4(1)20a a =--⨯-⨯=V .整理，得220a a --=.解得122,1a a ==-.②当1a =时，函数2(1)4242y a x x a x =--+=-+是一次函数，其图象与x 轴的交点为1(,0)，满足“图象与x 轴有且只有一个交点”的要求，因此1a =满足要求.综上所述，a 的值为1或2或-1.评注:形如2y ax bx c =++(,,a b c 为常数，0a ≠)的函数叫做二次函数.这里有两个要素:一是0a ≠，二是x 的最高次数为2，两者缺一不可.不能误认为2y ax bx c =++就一定是二次函数，当0,0a b =≠时，它是一次函数;当0,0a b ==时，它是平行(或重合)于x 轴的一条直线.因此，对于这类含字母系数的函数问题，要弄清它是否一定为二次函数，注意进行分类讨论.中考时，命题者常设计这方面的试题来考查考生的分类意识.二、二次函数的图象与性质例2(1)(2017•金华)对于二次函数2(1)2y x =--+的图象与性质，下列说法正确的是()A.对称轴是直线1x =，最小值是2B.对称轴是直线1x =，最大值是2C.对称轴是直线1x =-，最小值是2D.对称轴是直线1x =-，最大值是2(2)(2017•宁波)抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(3)(2016•广州)对于二次函数2144y x x =-+-，下列说法正确的是()A.当0x >时，y 随x 的增大而增大B.当2x =时，y 有最大值-3C.图象的顶点坐标为(-2,-7)D.图象与x 轴有两个交点分析:(1)由于已知二次函数的解析式是顶点式，所以可以直接写出它的对称轴与最值，再与选项比较得到正确结论.(2)根据题目的特点，要将抛物线2222y x x m =-++(m 是常数)化为顶点式，这只要在等号的右边加上并减去“-2一半的平方”即可.(3)先将2144y x x =-+-化为顶点式，再根据二次函数的性质确定正确的选项.解:(1)2(1)2y x =--+Q ，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线1x =.∴当1x =时，y 有最大值2.故选B.(2)由题意，配方有222222222112(1)1y x x m x x m x m =-++=-+-++=-++，可知抛物线的顶点坐标为2(1,1)m +.又210,10m >+>,∴抛物线的顶点坐标在第一象限.故选A.(3)Q 二次函数22114(2)344y x x x =-+-=---，∴其对称轴为直线2x =，顶点坐标为(2,-3).显然选项C 错误.104a =-<Q ,∴抛物线开口向下，顶点为最高点，当2x =时，y 有最大值-3.故选项B 正确.由抛物线开口向下，对称轴为直线2x =可知，当2x >时，y 随x 的增大而减小.故选项A 错误.由抛物线开口向下，顶点坐标为(2,-3),可知函数图象在x 轴的下方，所以二次函数的图象与x 轴没有交点.故选项D 错误.故选B.评注:解决与二次函数的图象与性质有关的问题的关键是熟练掌握二次函数2()y a x h k =-+(,,a h k 为常数，0a ≠)的如下性质:(1)图象形状:抛物线;(2)开口方向:()0a ><⇔抛物线的开口向上(下);(3)顶点坐标:(,)h k ;(4)对称轴:直线x h =;(5)最大(小)值:当()0,a x h ><=时，y 有最小(大)值k ;(6)增减性:当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大;当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值，判定其增减性时，常将二次函数的一般式2y ax bx c =++(,,a b c 为常数0a ≠)配方，转化为顶点式求解.也可以利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a--来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二次函数的增减性完全相反.三、函数值的大小比较例3点112233(1,),(3,),(5,)P y P y P y -均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则123,,y y y 的大小关系是()A.321y y y >>B.312y y y >=C.123y y y >> D.123y y y =>分析:由于三个点不都在对称轴1x =的同侧，因此可以利用抛物线上的对称点将它们转化为同侧的点，再根据二次函数的增减性得到结论;也可以先计算出自变量分别为-1,3和5时的函数值，再比较函数值的大小;还可以画出函数图象的草图，通过观察图象直接得到结论.解法一:因为222(1)1y x x c x c =-++=--++,所以抛物线的对称轴为直线1x =.因为点1122(1,),(3,)P y P y -关于直线1x =对称，所以12y y =.又2233(3,),(5,)P y P y 在直线1x =的右侧，抛物线开口向下，由抛物线的性质:在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，所以23y y >，所以123y y y =>.故选D.解法二:当1x =-时，21(1)2(1)3y c c =--+⨯-+=-+;当3x =时，223233y c c =-+⨯+=-+;当5x =时，2352515y c c =-+⨯+=-+;因为3315c c c -+=-+>-+,所以123y y y =>.故选D.解法三:画出抛物线的草图(图略)，利用图象可以直接得到123y y y =>.故选D.评注:这里给出了比较抛物线上点的纵坐标大小的三种基本方法.运用解法一时，一定要注意将对称轴两侧的点转化为同侧的点，再运用二次函数的增减性来作出判断;运用解法二时，要注意代数式大小比较的方法;运用解法三时，只要画出二次函数的大致图象，就可以借助图象的直观性快速地得到结论.四、二次函数的解析式例4如图1，二次函数的图象与x 轴交于(3,0)A -和(1,0)B 两点，交y 轴于点(0,3)C ，点,C D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点,B D .(1)请直接写出点D 的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.分析:(1)根据抛物线的对称性，由,A B 两点的坐标求出抛物线的对称轴，再由对称轴和点C 的坐标得到点D 的坐标;(2)用待定系数法求二次函数的解析式，设解析式为一般式、顶点式或交点式都可以;(3)观察给出的函数图象直接得到结论.解:(1)由题意知，该抛物线的对称轴是直线3112x -+==-.Q 点C 的坐标为(0，3)，∴点D 的坐标为(-2,3).(2)设二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠.根据题意，得93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩,解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩.∴二次函数的解析式为223y x x =--+.(3)2x <-或1x >.评注:一般的，若1(,)x y 和2(,)x y 是抛物线上的两点，则抛物线的对称轴为直线122x x x +=，这是一个很有用的结论.用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式:(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式2(0)y ax bx c a =++≠;(2)已知顶点(,)m n (或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式2()(0)y a x m n a =-+≠;(3)已知抛物线与x 轴的两个交点坐标为12(,0),(,0)x x ，常设抛物线的解析式为交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠.五、二次函数的图象与系数的关系例5二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图2所示，对称轴是直线1x =.下列结论:①0ab <;②24b ac >;③0a b c ++<;④30a c +<.其中正确的是()A.①④B.②④C.①②③D.①②③④分析:观察图象，根据二次函数的有关知识，对四个结论逐一判断，进而得到正确答案.解:Q 抛物线开口向上，0a ∴>.Q 抛物线的对称轴在y 轴的右侧，0b ∴->.0b ∴<0ab ∴<.故①正确.Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的下方，0c ∴<.Q 抛物线与x 轴有2个交点，240b ac ∴=->V ，即24b ac >.故②正确.Q 当1x =时，y a b c =++，由函数图象可知1x =时对应的点在x 轴的下方，0y ∴<，即0a b c ++<.故③正确.Q 抛物线的对称轴是直线1x =,1b ∴-=，即2b a =-.由图2可知，当1x =-时对应的点在x 轴的上方，0y ∴>，即0y a b c =-+>.(2)0a a c ∴--+>.30a c ∴+>.故④不正确.故选C.评注:本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出,,a b c 与0的大小关系及含有,,a b c 的代数式的值的大小关系.(1)a 决定开口方向:当0a >时抛物线开口向上;当0a <时抛物线开口向下.(2),a b 共同决定抛物线的对称轴位置:当,a b 同号时，对称轴在y 轴左侧;当,a b 异号时，对称轴在y 轴右侧(可以简称为“左同右异”);当0b =时，对称轴为y 轴.(3)c 决定与y 轴交点的纵坐标:当0c >时，图象与y 轴交于正半轴;当0c =时，图象过原点;当0c <时，图象与y 轴交于负半轴.(4)24b ac -的值决定了抛物线与x 轴交点的个数:当240b ac ->时，抛物线与x 轴有两个交点;当240b ac -=时，抛物线与x 轴有一个交点;当240b ac -<时，抛物线与x 轴没有交点.(5)a b c ++的符号由1x =时，y 的值确定:若0y >，则0a b c ++>;若0y <，则0a b c ++<.(6)a b c -+的符号由1x =-时，y 的值确定:若0y >，则0a b c -+>;若0y <，则0a b c -+<.六、二次函数与一元二次方程(或不等式)的关系例6已知抛物线2(12)13y mx m x m =+-+-与x 轴相交于不同的两点,A B .(1)求m 的取值范围.(2)证明:该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ，并求出点P 的坐标.(3)当184m <≤时，由(2)求出的点P 和点,A B 构成的ABP ∆的面积是否有最值?若有，求出最值及相对应的m 值;若没有，请说明理由.分析:(1)根据二次函数与一元二次方程之间的关系，由抛物线2(12)13y mx m x m =+-+-与x 轴相交于不同的两点,A B ，可得出对应一元二次方程的0>V ，解不等式即可得到m 的取值范围;(2)2(23)1y m x x x =--++，故只要2230x x --=，那么y 的值便与m 无关，求解即可得到定点的坐标;(3)解对应的一元二次方程，求出,A B 两点的坐标，即可得到AB 的长度(用含m 的代数式表示);再计算ABP ∆的面积，根据题目中的条件184m <≤确定三角形的面积是否有最值，并求出m 的值或说明没有最值的理由.解:(1)2(12)13y mx m x m =+-+-Q 是二次函数，0m ∴≠.Q 抛物线与x 轴相交于不同的两点，222(12)4(13)1681(41)0m m m m m m ∴=---=-+=->V ，410m ∴-≠，解得1m ≠.m ∴的取值范围是0m ≠且14m ≠.(2)222(12)13213(23)1y mx m x m mx x mx m m x x x =+-+-=+-+-=--++，故只要2230x x --=，那么y 的值便与m 的取值无关，也就是说抛物线必过定点.解2230x x --=，得123,1x x ==-.当3x =时14y x =+=，即(3,4)P ;当1x =-时,10y x =+=，但点(-1,0)是x 轴上的一点，不合题意，舍去.∴该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P ，点P 的坐标为(3,4).(3)解一元二次方程2(12)130mx m x m +-+-=，得1213,1x x =-=-.当184m <≤时，131m ->-,111113(1)4,(4)42(4)ABP AB S ∆∴=---=-=⨯-⨯=-.Q 184m <≤,1148m ∴≤<.∴当118m =时，12(4m -有最大值314，即ABP ∆的面积有最大值314，此时8m =.评注:(1)二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程20ax bx c ++=的根的三种情况:①有实数根，此时0<V ;②有两个相等的实数根，此时0=V ;③有两个不相等的实数根，此时0>V .(2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标.(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.七、与二次函数有关的新题型例7定义:如图3，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于,A B 两点，点P 在该抛物线上(点P 与,A B 两点不重合)，如果ABP ∆的三边满足222AP BP AB +=，则称点P 为抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的“勾股点”.(1)直接写出抛物线21y x =-+的勾股点的坐标.(2)如图4，已知抛物线2:(0)C y ax bx a =+≠与x 轴交于,A B 两点，点P 是抛物线C 的勾股点，求抛物线C 的函数表达式.(3)在(2)的条件下，点Q 在抛物线C 上，求满足条件ABQ ABP S S ∆∆=的点Q (异于点P )的坐标.分析:(1)因为抛物线21y x =-+与x 轴交于(1,0),(1,0)A B -，与y 轴交于点(0,1)，根据抛物线上勾股点的定义可直接得到答案;(2)作PG x ⊥轴，由点P 的坐标求得,,AG PG PA 的长度和60PAG ∠=︒，从而求得AB 的长度，得到点B 的坐标，即可用待定系数法求解;(3)由ABQ ABP S S ∆∆=且两三角形同底，可知点Q 到x 轴的距离，据此即可求解.解:(1)抛物线21y x =-+的勾股点的坐标为(0,1).(2)如图5，过点P 作PG x ⊥轴于G .Q 抛物线2y ax bx =+过原点，即点(0,0)A ，点P 的坐标为，1,2AG PG PA ∴===.30APG ∴∠=︒.60PAG ∴∠=︒.4AB ∴=，∴点B 的坐标为(4,0).设(4)y ax x =-，将点P 1(14)a =⨯⨯-.3a ∴=-。