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历年中考数学动点问题题型方法归纳

x A O Q P B y动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、(2009年齐齐哈尔市)直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动. (1)直接写出A B 、两点的坐标;(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式; (3)当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标.提示:第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;第(3)问是分类讨论:已知三定点O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边,②OP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。

图(3)ABC OEF AB C O D图(1)ABOE FC 图(2) y M CD 2、(2009年衡阳市)如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC=2cm ,∠ABC=60º. (1)求⊙O 的直径;(2)若D 是AB 延长线上一点,连结CD ,当BD 长为多少时,CD 与⊙O 相切;(3)若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动,同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动,设运动时间为)20)((<<t s t ,连结EF ,当t 为何值时,△BEF 为直角三角形.注意:第(3)问按直角位置分类讨论3、(2009重庆綦江)如图,已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC . (1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的运动.设它们的运动PQ A B C D 面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长.注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时,四边形BCPQ 的面积最小。

二、 特殊四边形边上动点 4、(2009年吉林省)如图所示,菱形ABCD 的边长为6厘米,60B ∠=°.从初始时刻开始,点P 、Q 同时从A 点出发,点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动,点Q 以2厘米/秒的速度沿A B C D →→→的方向运动,当点Q 运动到D 点时,P 、Q 两点同时停止运动,设P 、Q 运动的时间为x 秒时,APQ △与ABC △重叠部分....的面积为y 平方厘米(这里规定:点和线段是面积为O 的三角形),解答下列问题: (1)点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒;(2)点P 、Q 从开始运动到停止的过程中,当APQ △是等边三角形时x 的值是 秒; (3)求y 与x 之间的函数关系式.提示:第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ; 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。

5、(2009年哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点A 的坐标为(,4),点C 在x 轴的正半轴上,直线AC 交y 轴于点M ,AB 边交y3-OM BH A C x y 图(1)OM BH A C x y 图(2)轴于点H .(1)求直线AC 的解析式;(2)连接BM ,如图2,动点P 从点A 出发,沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动,设△PMB 的面积为S (),点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式(要求写出自变量t 的取值范围);(3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,△MPB 与△BCO 互为余角,并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值.注意:第(2 第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO 与∠ABM 互余,画出点P 运动过程中, ∠MPB=∠ABM 的两种情况,求出t 值。

利用OB ⊥AC,再求OP 与AC 夹角正切值.6、(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),B(33,2),C (0,2).动点D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC 向终点C 运动,同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动.过点E 作EF 上AB ,交BC 于点F ,连结DA 、DF .设运动时间为t 秒.(1)求∠ABC 的度数;(2)当t 为何值时,AB∥DF; (3)设四边形AEFD 的面积为S . ①求S 关于t 的函数关系式;②若一抛物线y=x 2+mx 经过动点E ,当S<23时,求m 的取值范围(写出答案即可).注意:发现特殊性,DE ∥OA0S7、(07黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO 是菱形,且∠AOC=60°,点B 的坐标是(0,83),点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB 上向点B 移动,同时,点Q 从点O 开始以每秒a (1≤a ≤3)个单位长度的速度沿射线OA 方向移动,设(08)t t <≤秒后,直线PQ 交OB 于点D. (1)求∠AOB 的度数及线段OA 的长;(2)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式;(3)当43,33a OD ==时,求t 的值及此时直线PQ 的解析式; (4)当a 为何值时,以O ,P ,Q ,D 为顶点的三角形与OAB ∆相似?当a 为何值时,以O ,P ,Q ,D 为顶点的三角形与OAB ∆不相似?请给出你的结论,并加以证明.8、(08黄冈)已知:如图,在直角梯形COAB 中,OC AB ∥,以O 为原点建立平面直角坐标系,A B C ,,三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ,,,,,,点D 为线段BC 的中点,动点P 从点O 出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD 的路线移动,移动的时间为t 秒. (1)求直线BC 的解析式;(2)若动点P 在线段OA 上移动,当t 为何值时,四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27? (3)动点P 从点O 出发,沿折线OABD 的路线移动过程中,设OPD △的面积为S ,请BACDP OQxy直接写出S 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围;(4)当动点P 在线段AB 上移动时,能否在线段OA 上找到一点Q ,使四边形CQPD 为矩形?请求出此时动点P 的坐标;若不能,请说明理由.9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC .现有两动点P,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F .设动点P,Q 移动的时间为t (单位:秒) (1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形?请写出计算过程; (3)当0<t <92时,△PQ F 的面积是否总为定值?若是,求出此定值, 若不是,请说明理由; (4)当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形?请写出解答过程. 提示:第(3)问用相似比的代换,得PF=OA (定值)。

第(4)问按哪两边相等分类讨论 ①PQ=PF,②PQ=FQ,③QF=PF.ABDC O P x yABDCOxy (此题备用)yO xCNBPMA三、直线上动点8、(2009年湖南长沙)如图,二次函数2y ax bx c=++(0a≠)的图象与x轴交于A B、两点,与y轴相交于点C.连结AC BC A C、,、两点的坐标分别为(30)A-,、(03)C,,且当4x=-和2x=时二次函数的函数值y相等.(1)求实数a b c,,的值;(2)若点M N、同时从B点出发,均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA BC、边运动,其中一个点到达终点时,另一点也随之停止运动.当运动时间为t秒时,连结MN,将BMN△沿MN翻折,B点恰好落在AC边上的P处,求t的值及点P的坐标;(3)在(2)的条件下,二次函数图象的对称轴上是否存在点Q,使得以B N Q,,为项点的三角形与ABC△相似?如果存在,请求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.提示:第(2)问发现特殊角∠CAB=30°,∠CBA=60°特殊图形四边形BNPM为菱形;第(3)问注意到△ABC为直角三角形后,按直角位置对应分类;先画出与△ABC 相似的△BNQ ,再判断是否在对称轴上。

9、(2009眉山)如图,已知直线112y x=+与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为 (1,0)。

⑴求该抛物线的解析式;⑵动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。

⑶在抛物线的对称轴上找一点M,使||AM MC-的值最大,求出点M的坐标。

提示:第(2)问按直角位置分类讨论后画出图形----①P为直角顶点AE为斜边时,以AE为直径画圆与x轴交点即为所求点P,②A为直角顶点时,过点A作AE垂线交x轴于点P,③E为直角顶点时,作法同②;第(3)问,三角形两边之差小于第三边,那么等于第三边时差值最大。

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