证明 参见文献 [1] 349 页定理 10.
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2 2. 数字矩阵的若当标准形 2.2. 若当标准形的求解
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1956
【注】 用初等变换化特征矩阵 sI − A 为对角形式, 然后将主
2 数字矩阵的若当标准形
10
2.1 若当标准形的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 若当标准形的求解 . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 若当标准形的变换矩阵 . . . . . . . . . . . . . . . 14
组成的准对角型矩阵. 不难算出若当块
J 0 = s000
1 s0 0
0 1 s0
所对应的特征矩阵 sI − J 0 的初等因子是 (s − s0)4.
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2 2. 数字矩阵的若当标准形 2.1. 若当标准形的定义
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1 s 矩阵的 Smith 标准形
1.1 Smith 标准形的存在性
定义 1.1 由单位矩阵 I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等 矩阵。
定义 1.2 矩阵 A 与 B 称为等价的，如果 B 可以由 A 经过一 系列初等变换得到。
定义 1.3 如果 m × n 阶矩阵 A(s) 的所有元素 ai,j = ai,j(s) 均 为变量 s 的实系数多项式，则称 A(s) 为一个关于 s 的 m × n 阶实数域上的多项式矩阵，其全体记为 Rm×n[s]。
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因为数字矩阵与其特征矩阵一一对应, 因此数字矩阵确定,
[ A(λ) = f1(λ)g1(λ)
0 [ B(λ) = f2(λ)g1(λ)
0
] 0
f2(λ)g2(λ) ]
0
f1(λ)g2(λ)
(1.3) (1.4)
如果多项式 f1(λ), f2(λ) 都与 g1(λ), g2(λ) 互素, 则 A(λ) 和 B(λ) 具有相同的各级行列式因子, 即 A(λ) 和 B(λ) 等价.
唯一确定的.
事实上, 如果两个同级的数字矩阵有相同的初等因子, 则它
们就有相同的不变因子, 因而它们相似. 反之, 如果两个矩阵相
似, 则它们有相同的不变因子, 因而它们有相同的初等因子.
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1 1. S 矩阵的 SMITH 标准形 1.3. SMITH 标准形的求解
ϕ(s) 为一个多项式。 和数字矩阵的初等变换一样，可以引进初等矩阵，使得对一个
矩阵的初等行（列）变换可以通过适当的初等矩阵左（右）乘
该矩阵来完成。
定义 1.4 如果可以用一系列初等变换将多项式矩阵 A(s) 化为
多项式矩阵 B(s)，则称多项式矩阵 A(s) 和 B(s) 相互等价。
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数量矩阵 A 的特征矩阵 sI − A 为关于 s 的多项式矩阵。
与数字矩阵类似，多项式矩阵亦有初等变换。 所谓多项式
矩阵的初等行（列）变换，是指下列三种典型操作：
1. 矩阵的两行（列）互换位置。 2. 矩阵的某一行（列）乘以非零的常数 c。 3. 矩阵的某一行（列）加上另一行（列）的 ϕ(s) 倍，此处
1956
定义 1.7 把矩阵 A 的每个次数大于零的不变因子分解成互不
相同的一次因式方幂的乘积, 所有这些一次因式方幂（相同的必
须按出现的次数计算）称为矩阵 A 的初等因子.
例题 1.1 设 12 级矩阵的不变因子是
1, 1, · · · , 1, (λ − 1)2, (λ − 1)2(λ + 1), (λ − 1)2(λ + 1)(λ2 + 1)2
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1 1. S 矩阵的 SMITH 标准形 1.1. SMITH 标准形的存在性
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Q[2, 3]
0
s−2
0
0 s−2
0
0 0
(s − 2)2
0 0
s−2
0 0
s−2
其不变因子为 1, s − 2, (s − 2)2. 初等因子为 s − 2, (s − 2)2.
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2 数字矩阵的若当标准形
2.1 若当标准形的定义
若当 (Jordan) 标准形是数字矩阵的一种结构, 是由若当块
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1 1. S 矩阵的 SMITH 标准形 1.2. SMITH 标准形的唯一性
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sI
−
A
=
s
− 0
2
−3 s−2
0 0
−P−[2−(−−3→)]
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1.2 Smith 标准形的唯一性
为了说明 s 矩阵的 Smith 标准形是唯一的, 引入行列式因 子定义.
定义 1.5 设 s 矩阵 A(s) 的秩为 r, 对于正整数 k, 1 ≤ k ≤ r, A(s) 中必有非零的 k 级子式. A(s) 中全部 k 级子式的首项系 数为 1 的最大公因式 Dk(s) 称为 A(s) 的 k 级行列式因子.
1 1. S 矩阵的 SMITH 标准形 1.3. SMITH 标准形的求解
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对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积, 则所有
这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是 A 的全
部初等因子.
例题 1.2 已知
A = 20
3 2
00
002
求其特征矩阵的 Smith 标准形.
(1.6)
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1 1. S 矩阵的 SMITH 标准形 1.3. SMITH 标准形的求解
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1 1. S 矩阵的 SMITH 标准形 1.1. SMITH 标准形的存在性
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我们注意不变因子有一个除尽一个的性质, 即
di(s)|di+1(s), i = 1, 2, · · · , n − 1
(1.5)
因此, 在 di(s), i = 1, 2, · · · , n 的分解式中, 属于同一个一次因式 的方幂的指数有递升的性质, 同一个一次因式的方幂作成的初等
因子中, 方次最高的必定出现在 dn(s) 的分解中, 方次次高的必 定出现在 dn−1(s) 的分解中. 如此顺推下去, 可知属于同一个一 次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是
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1.3 Smith 标准形的求解