第7章 参数估计 ----点估计一、填空题1、设总体X 服从二项分布),(p N B ，10<<P ，n X X X 21,是其一个样本，那么矩估计量=pˆ XN. 2、 设 总 体)p ,1(B ~X ， 其 中 未 知 参 数 01<<p , X X X n 12,, 是 X 的样本， 则 p 的 矩 估 计 为_∑=n 1i i X n 1_， 样本 的 似 然 函 数 为_ii X 1n1i X )p 1(p -=-∏__。
3、 设 12,,,n X X X 是 来 自 总 体 ),(N ~X 2σμ的 样 本， 则 有 关 于 μ及 σ2的 似 然 函 数212(,,;,)n L X X X μσ=_2i 2)X (21n1i e21μ-σ-=∏σπ__。
二、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ααα=+<<，其中1->α是未知参数，n X X X ,,21为一个样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计.解：因⎰⎰++=+=1011α1α1αdx x dx x x X E a )()()(2α1α2α1α102++=++=+|a x (令2α1α++==ˆˆ)(X X EXX --=∴112αˆ为α的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+∑=++=∴ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=∂∂ni i X nL 101ααln ln 得，α的极大似量估计量为)ln (ˆ∑=+-=ni iXn11α2、设总体X 服从指数分布 ,0()0,x e x f x λλ-⎧>=⎨⎩其他 ，n X X X ,,21是来自X 的样本，（1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.解：（1）由于1()E X λ=，令11X Xλλ=⇒=，故λ的矩估计为1ˆX λ= （2）似然函数112(,,,)nii x nn L x x x eλλ=-∑=111ln ln ln 0nii ni ni ii L n x d L n n x d xλλλλλ====-=-=⇒=∑∑∑故λ的极大似然估计仍为1X。
3、设总体()2~0,X N σ，12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本，求2σ的极大似然估计；—[解] (1)似然函数2221i x ni L σ-==()2212222ni i x n eσπσ=--∑=⋅于是2221ln ln 2ln 222ni i x n n L πσσ==---∑ 22241ln 122n i i d L n x d σσσ==-+∑， 令2ln 0d L d σ=，得2σ的极大似然估计：2211n i i X n σ∧==∑.4、设总体X 服从泊松分布()P λ, 12,,,n X X X 为取自X 的一组简单随机样本, （1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极大似然估计.解：（1）令ˆ()E X X X λλ==⇒=，此为λ的矩估计。
（2）似然函数1121(,,,)!nii x n n nii e L x x x x λλ=-=∑=∏1111ln ln ln !ln 0n ni i i i n ni i i i L x n x x x d L n xd nλλλλλ=====--=-=⇒==∑∑∑∑故λ的极大似然估计仍为X 。
第七章 参数估计 ----点估计的评价标准*一、填空题1、 设321,,X X X 是取自总体X 的一个样本，则下面三个均值估计量3213321232111214331ˆ,1254131ˆ,2110351ˆX X X uX X X u X X X -+=++=++=μ都是总体均值的无偏估计，则 2ˆμ最有效. 2、 设n X X X ,,21是取自总体),0(2σN 的样本，则可以作为2σ的无偏估计量是( A ).A 、∑=n i i X n 121B 、∑=-n i i X n 1211C 、∑=ni i X n 11D 、∑=-ni i X n 111二、计算题1、设n X X X ,,21为从一总体中抽出的一组样本，总体均值μ已知，用∑=--ni i X n 12)(11μ去估计总体方差2σ，它是否是2σ的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.解：因∑∑==--=--n i n i ii X E n X n E 1122)(11])(11[μμ221σσ≠-=n n ∑=--∴ni i X n 12)(11μ不是2σ的无偏估计 但∑=-n i i X n 12)(1μ是2σ的无偏估计 2、设n X X X ,,21是来自总体),(2σμN 的一个样本，若使∑-=+-⋅1121)(n i i i X XC 为2σ的无偏估计，求常数C 的值。
￥ 解：11221111122111122222122[()][()][2][2]12(1)2(1)n n i i i i i i n i i i i i n i E C X X C E X X C EX EX EX EX C n C C n μσμσμσσ--++==-++=-=⋅-=-=+-=+++-=-=⇒=-∑∑∑∑第七章 参数估计 ----区间估计一、选择题1、设总体),(~2σμN X ，2σ未知，设总体均值μ的置信度α-1的置信区间长度l ，那么l 与a 的关系为( A ).A 、a 增大，l 减小B 、a 增大，l 增大C 、a 增大，l 不变D 、a 与l 关系不确定2、设总体),(~2σμN X ，且2σ已知，现在以置信度α~1估计总体均值μ，下列做法中一定能使估计更精确的是( C ).A 、提高置信度α-1，增加样本容量B 、提高置信度α-1，减少样本容量C 、降低置信度α-1，增加样本容量D 、降低置信度α-1，减少样本容量%二、计算题1、设总体)9.0,(~2μN X ，当样本容量9=n 时，测得5=X ，求未知参数μ的置信度为的置信区间.解：μ的置信区间为22(X Z X Z αα-+05.0=α 9=n 9.0=σ 5X =0.0521.96Z =μ的置信区间为)588.5,412.4(。
2、设总体2~(,),X N μσ已知0,σσ=要使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间的长度不大于L ，问需要抽取多大容量的样本。
解：μ的置信区间为22(X Z X Z αα-+，22022242Z Z L n Lαασ≤⇒≥3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径),(~2σμN X ，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：.，，，，，，置信度95.01=-α(即05.0=α)(1)若06.02=σ，求μ的置信区间(2)若2σ未知，求μ的置信区间(3)求方差2σ，均方差σ的置信区间.解：(1)2σ已知，则μ的置信区间为22(,)X Z X Z nnαα-⋅+，25,0.05, 1.96n Z αα===代入则得μ的置信区间)15.15,75.14((2)2σ未知，则μ的置信区间为22(,)X t X t n n αα-+⋅，05.0,5==αn 查表得0.0522.5706t =，代入得μ的置信区间为)19.15,71.14((3)222(1)~(1)n S n χσ--2σ的置信区间2222122(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ-----5,05.0==n α 代入得2σ的置信区间为：)3069.0,0199.0(。
]均方差σ的置信区间为(0.0199,0.3069)(0.1411,0.2627)=4、 设从正态总体X 中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 61.58=X 及样本方差 22)8.5(=S, 求总体X 的均值和方差的90%的置信区间解：,8.5s ,31n ,95.021,05.02,9.01===α-=α=α- 0.05(30) 1.6973t = 的 90%的置信区间为 : 2(((56.84,60.38)X t n nα±-= 220.050.95(30)43.77(30)18.49χχ== ，S =2σ的 （1-a ）%的置信区间为 :2222221(1)(1),(1)(1)n s n s n n ααχχ-⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭即6.541.2349.188.333077.4364.333022<<⨯<<⨯σσ的 90%的 置 信 区 间 为 : ,5、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X 服 从 正 态 分 布 N(μ , ) ,μ , 未 知 , 现 从中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 :、, , , , ,求 方 差 及 均 方 差 的 90%的 置 信 区 间 .解：995.0)(41,6.1151512251=-===∑∑==i i i i x x S x x41,95.021,05.02,9.01=-=-==-n ααα220.050.95(4)9.488,(4)0.711x x ==598.5711.0995.04,419.0488.9995.04=⨯=⨯及 的 90%的 置 信 区 间 为 , 及 )366.2,647.0()598.5,419.0(=6、 二正态总体N(,) , N(,)的参数均未知 ,依次取容量为 n =10 , n=11的二独立样本 ,测得样本均值分别为121.2, 2.8x x ==，样本方差分别为 29.0,34.02221==S S ,(1) 求二总体均值差12μμ-的90%的置信区间。
（2）求二总体方差比90%的置信区间。
解：1210.9,0.05,19,1102n n αα-==-=-=（1）290.34100.290.313719w s ⋅+⋅==，0.05(19) 1.729t =，12μμ-的90%的置信区间为 1111(1.2 2.8 1.7290.3137,1.2 2.8 1.7290.3137)10111011( 2.0231, 1.1769)--+-++=--（2）0.05(9,10) 3.02F =0.950.0511(9,10)(10,9) 3.14F F ==17.129.034.02221==S S 2221/σσ∴的 90%的 置 信 区 间 为 : )67.3,39.0()14.317.1,02.3117.1(=⨯⨯。