d um 1s
其中 d 表示外胎磨损厚度，其量纲为 L 即 m 表示车和人的总质量，其量纲为 M 即
2
[d ] L
；
[m] M ；
s 表示自行车自出厂的行驶距离，其量纲为 L 即 [s] L ; u 表示自行车行驶的环境与自行车材质对自行车磨损的影响因素 所以外胎磨损厚度变化模型的量纲表达式为：
六、参考文献
[1] 张立科，MATLAB 7.0 从入门到精通[M]，北京：人民邮电出版社，2006. [2] 徐全智 杨晋浩，数学建模（第二版） ，北京：高等教育出版社，2008 [3] 李林 张积林，数学建模案例， 同济大学出版社，2012
r,
i
i
（i 1,2,3...9)
[4]自行车外胎使用寿命的确定 由[3]根据分析自行车外胎使用寿命可以用如下模型得：
Ts
i
(i) max
r
i
i
（5）
由公式（2） 、 （4） 、 （5）得：
l l T r u
i min k i i i
i
i 1,2,3,... 9
（6）
Ti , d ( i ) max , ui , lk 表示不同行驶环境下外胎的使用寿命，不同环境下最大磨
d s u
（3）
其中 d 表示外胎磨损厚度，s 表示自行车自出厂的行驶距离， u 表示自行车
行的环境与自行车材质对自行车磨损的影响因素； [2] 对于自行车最大行驶距离， 当自行车外胎磨损厚度达到最大时，在不同的行 驶环境下，其的最大行驶距离由公式（3）得：
s
（i） max
d u
(i) max
安全系数
:P
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
p=f(s)
行驶路程：S
p=f(s),由图可知，安全系数随着行驶路程的增加而降低，即安全系数 P 与 路程 S 呈负相关。 4.3 最大磨损厚度确立模型 4.3.1 问题分析 通过对外胎磨损厚度变化模型的建立我们知道在一般情况下行驶环境和行 驶距离直接影响自行车外胎的磨损厚度，所以当外胎磨损厚度达到最大时，安全 厚度为外胎的出厂厚度减去最大磨损厚度， 在同样的行驶环境下确定了最大磨损 厚度， 便知道了自行车的最大行驶距离（自行车自出厂到磨损最大的行驶距离） ； 4.3.2 模型建立 对于最大磨损厚度确立模型，建立如下：
l
(i) min
l d
k
(i) max
d
其中 l
(i ) min
(i) max
l l
k
i min
（2）
, lk , d max 分别表示安全厚度（外胎能在其他条件不变下能承受的最小
厚度） ，外胎出厂厚度，最大磨损厚度； 4.3.3 模型求解 对所建立的模型进行分析得当自行车的行驶环境不同时，自行车的外胎所 能承受的最小厚度不同， 因为外胎磨损厚度变化的直接因素是自行车行驶距离和 行驶环境， 所以除了这两个因素其他的影响因素可以不作考虑，故可以对不同的 行驶环境下自行车外胎承受的最小厚度通过作做表对比，具体求解方法如表Ⅰ： 表Ⅰ u U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 l
损厚度，不同行驶环境影响因素，外胎的出厂厚度； 所以由模型可以确定不同行驶环境下的自行车外胎使用寿命如表Ⅲ： 表Ⅲ u U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 T T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9
i
i
五．模型的评价以及推广
5.1 模型的优点 该模型通过假设自行车行驶环境单一，得到了简化，确立了自行车在不同 环境不同车的外胎使用寿命模型，通过量纲分析出了使用寿命与各因素的关系， 容易理解； 该论文没有提供数据，我们巧妙地避开直接使用数据，采用的是量纲分析 法。 5.2 模型的缺点 该模型因为缺少必要的数据，不能对起进行验证，所以模型具有一定的片 面性，再则，该模型只是站在用户的角度考虑，所以模型就只能解决用户角度的 问题； 5.3 模型的改进 对于模型改进，如果要站在商家的角度考率，则要收集相关数据建立有关 统计的模型就能解决； 站在用户的角度，如果要考虑不同的车在不同的行驶环境下的情况，我们 可以采用矩阵， 记录同一辆车在不同的环境下的行驶距离，然后综合考虑以确定 自行车外胎使用寿命的模型 5.4 模型的推广 对于模型的推广，除了对自行车的外胎使用寿命适用，也可用到其他交通 工具，如汽车，汽轮等，可以帮助运输行业的管理者估算自己交通工具外胎等的 更换时间；
i
பைடு நூலகம்(i)
min
所以对应的自行车在不同行驶环境下的最大磨损厚度由公式（2）得如下表Ⅱ: 表Ⅱ u U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 U9 l-M1 l-M2 l-M3 l-M4 l-M5 l-M6 l-M7 l-M8 l-M9 d
i
（i）
max
其中 u
i
, l ( i ) min , d ( i ) max 分别表示自行车行驶环境的影响因素，自行车外胎在不同
[d ] u[m]1[s]2
即
L uM 1 L2
所以有 1 0, 2 1 得到轮胎磨损厚度变化模型的表达式为：
d us
（1）
以上模型说明在一般情况下自行车外胎磨损厚度与自行车行驶环境和行驶 距离有很大联系，当自行车行驶环境越差，行驶距离越长，外胎磨损厚度越大。
4.2 最小外胎厚度确定模型 4.2.1 问题分析： 根据前面的模型，我们得出了自行车外胎的厚度 d 与行驶距离 S 之间的 关系，d= S,最后经计算得出 是负值，也即说明了行驶路程 S 与外胎的厚度 d 成反比。 我们求出了不同材质的自行车外胎在不同的路面上行驶，所对应的自 行车外胎的最小的使用厚度，也即是 dmin。 站在用户的角度，主要是从自行车的安全性以及更换自行车外胎的费用 两个方面综合考虑。 当然不同层次的用户群体对于安全性和更换外胎费用的在意 程度不一样，也就有了安全性以及更换费用在用户心里的不同权重。 现在我们需要解决的就是安全系数 P 与行驶路程 S 的关系 4.2.2 模型的建立： 首先根据自行车外胎的厚度，将自行车外胎的安全系数人为的拟定一个指 标（1—0 指标）：即 pmzx=1，pmin=0，也就是说，在自行车的使用期间，外胎的安 全系数是介于 1 与 0 之间。当自行车外胎的安全系数 p 达到 0 的时刻 t，也即是 自行车外胎寿命终止并且必须更换自行车外胎的时刻。 a.安全系数（P） 用户 b.更换费用 (Q)
环境下的最小承受厚度，自行车在不同环境下的最大磨损厚度； 4.4 自行车外胎使用寿命模型 4.4.1 问题分析 通过对以上自行车外胎磨损厚度变化模型，外胎最大磨损厚度确立模型的 分析，可以初步确定自行车最大行驶距离（从出厂到最大磨损） 。而对于自行车 外胎的使用寿命的确定，站在用户考虑，当安全系数达到最小，节约换胎费用最 大时自行车的使用寿命最大， 但要确立自行外胎使用寿命，我们得将安全系数和 节约换胎费用归结到一个点上， 这个时候也就是外胎使用寿命最合适的点。所以 我们可以考虑安全系数和节约换胎费用的权重值， 最后确立自行车外胎的使用寿 命。通过分析要建立模型，我们可以将外胎使用寿命分为安全系数（当磨损厚度 最大安全系数最小） 和节约换胎费用两个部分，通过对这个部分进行权重量衡来 确立外胎胎使用寿命。对于安全系数，其与自行车行驶距离直接相关，在相同的 行驶环境下行驶距离直接影响自行车外胎的安全系数。 所以可以将自行车外胎使 用寿命模型分为自行车最大行驶距离和节约换胎费用两部分。 4.4.2 模型建立与求解 [1]对于自行车的行驶距离，由公式（1）得如下关系：
关键字
自行车外胎，使用寿命，量纲分析，磨损厚度，行驶环境
一．问题重述
首先，根据题目，并未明确我们所研究的角度，即，是从厂家角度还是从 用户的角度来考虑这个问题。 若从厂家角度，我们面对的应当是企业生产的一大 批自行车外胎的一个平均寿命的估计， 这样的估计要求在基于大量的基础数据的 前提下，通过统计分析检验，得出结果，需要较高的精确度及相对明确的使用环 境。由于我们无法得到如此详细的数据，所以我们选择站在用户（即我们自己） 的角度上，对自行车外胎使用寿命进行分析估计。 对于我们用户自己的一辆车来说，其寿命主要是基于安全性及更换的费用来 考虑的，我们将这两个标准作为主要标准来分析。我们知道，外胎的使用寿命直 接与其磨损速度相关，而磨损速度又与使用频率、行驶速度、外胎材质、行驶环 境、车重、人重等等相互联系，导致外胎的寿命可能不会直接与时间成正比，相 比较而言，用自行车的路程寿命来表示，就会好的多。而外胎更换的条件就应该 是在安全性和更换费用相互制约下达到我们自己所能接受的一个临界值。 其实我们最终需要反映的是自行车外胎使用寿命并不是“纯粹”的数，而应 该是反映其外胎磨损特性的度量，因而，对于模型最终的求解采用量纲分析更适 合。
二．符号说明
S:自行车的行驶路程;；
M：表示车和人的总质量； S：表示自行车自出厂后的行驶距离； U：表示自行车行驶的环境与自行车材质对自行车磨损的影响因素； P:自行车外胎的安全系数 ；
三．模型假设
1.假设自行车行驶的环境单一； 2.假设自行车行驶环境包括人、车重量，以及外胎与路面的摩擦因素； 3.假设自行车外胎不会因为其他非磨损的原因损坏。
（4）
i
i 1,2,3,... 9
s ( i ) max , d（i ) max , ui 分别表示自行车自出厂行驶的最大距离，外胎自出厂最大磨损
厚度，不同的行驶环境下的影响因素； [3]、自行车外胎安全性及用户节约更换费用的权重系数的确定 通过对问题的分析可以知道，当自行车的行驶环境不同，用户对更换费用 和安全性考虑的侧重点不同， 一般情况下长期行驶在较差的行驶环境中用户更侧 重考虑外胎的安全性，而在较好的行驶环境中，用户更容易考虑更换费用； 所以对更换费用，安全性的权重系数可以有：