由此可得临界力公式为： P
2 EIn 2
西北农林科技大学
参数 k
或 Pcrn在数学上称为固有值、本征值或特征值 (eigenvalue)。
n
在参数取特征值时，方程有非0解，所以数学上也叫求解
特征值问题。
轴向压力 9 2 EI P3 l2
4 2 EI P2 l2 l
nx y A sin l
其中A、B、C、D为四个由边界条件确定的待定系数。
其中k
对通解求导，可得其各阶导数： y ' Ak cos kx Bk sin kx C
y ' ' Ak 2 sin kx Bk 2 cos kx y ' ' ' Ak 3 cos kx Bk 3 sin kx
P EI
结构稳定理论
西北农林科技大学
§2-1
轴心受压构件的失稳类型
φ φ
（a）弯曲屈曲（绕z轴） （b）扭转屈曲（绕x轴） （c）弯扭屈曲
图2.1 轴心受压构件的失稳类型
轴心受压构件的失稳形式主要取决于：截面的形状和几何尺寸，杆件长度和杆端的连接条件 。
结构稳定理论
西北农林科技大学
§2-2
轴心受压构件的弯曲失稳
任意一截面弯矩(对A点取矩)：
x y P M Q x
M P y Qx M A
弯矩与曲率的关系 M EIy ' ' 则有二阶常系数微分方程：
y
Q MA P
Q P MA
其中：
EIy' ' Py Qx M A
MA MB Q l
结构稳定理论
西北农林科技大学
则方程的通解为： y A sin kx B cos kx Cx D
西北农林科技大学
第二章 轴心受压构件的失稳
(flexural buckling of axial compressed members) 轴心受压构件在工程结构中应用广泛， 如钢结构中桁架、网架中的杆件，工业厂房 及高层钢结构的支撑，操作平台和其他结构 的支柱等。
本章着重讨论：
轴心受压构件的整体稳定问题
结构稳定理论
西北农林科技大学
则力矩平衡方程为：
M P y EI EI y' ' EI y' ' Py 0
为二阶齐次常微分方程
y ' ' k y 0
2
P k EI
2
该微分方程的通解为：
y A sin kx B cos kx
A,B为待定系数，由边界条件确定
为使关于A、B、C、 D的齐次方程组有非 0解，则其系数行列 式应为0。
结构稳定理论
西北农林科技大学
则： 2 sin kl (2 sin kl kl cos kl ) 0 2 2 2 因此有：sin kl 0 或 tg kl kl 2 2 2 由第一式得：
kl 2n P 4n 2 2 EI min 4 2 EI n k Pcrn Pcr 2 2 l EI l l2
结构稳定理论
EIy' ' Py 0 2 3/ 2 [1 ( y ' ) ]
西北农林科技大学
2）大挠度理论的解
应采用特殊的变换和数值解法才能求解。 （大多数非齐次微分方程都没有解析解） 可以得到大挠度理论轴心受压构件的荷载挠度曲线。
结构稳定理论
西北农林科技大学
结构稳定理论
西北农林科技大学
结构稳定理论
西北农林科技大学
轴心受压构件的大挠度理论 1）大挠度方程
基本假设： 同一材料制成的等截面直杆； 荷载作用在截面形心上； 平截面假定，仅考虑弯曲变形； 材料为弹性； y' ' 构件曲率与变形的关系： Φ
与小挠度 理论相同
[1 ( y ' ) ]
2 3/ 2
因此大挠度方程为：
结构稳定理论
西北农林科技大学
一、理想轴心受压构件的弹性弯曲失稳
基本假设： 同一材料制成的等截面直杆； 荷载作用在截面形心上； 平截面假定，仅考虑弯曲变形（忽略剪切变形）； 材料为弹性； 构件变形非常微小（小挠度理论 y ' 1 ）。
y' ' Φ y' ' 2 3/ 2 [1 ( y ' ) ]
结构稳定理论
西北农林科技大学
工况四：一端嵌固、另一端侧向可动但不转动的轴心
压杆
有：
y y'
x 0 x l
0, 0,
y'
x 0 x l
0 k y'
2 x l
y' ' '
0
B D 0 Ak C 0 Ak cos kl Bk sin kl C 0 Ak 3 cos kl Bk 3 sin kl 2 k ( Ak cos kl Bk sin kl C ) 0 B D 0 Bk sin kl 0
B 0, D 0, C 0
EI
2
(2l ) 2
结构稳定理论
西北农林科技大学
注：从上述五种工况的结果可以看出，临界力Pcr可表达 为： 2 EI Pcr 2 l0
l0 l
2 EI Pcr ( l ) 2
l0－有效长度、或计算长度；
l－实际杆长；
μ－杆件计算长度系数。
PE P 1
2 EI
l2
2 EI 最低的临界力即为欧拉临界力 P 1 2
横向挠度
结构稳定理论
西北农林科技大学
边界效应与计算长度的概念
(boundary conditions and effective length concept) （求解两端为任意支承情况时的临界力）
MB P Q
结构稳定理论
西北农林科技大学
结构稳定理论
西北农林科技大学
Pcr 2 EI 2E 临界应力： cr 2 A l0 A l0 I A
2
l0 i
2E
2
2E 2
其中：
l0 l i i
屈曲临界应力与 长细比的关系：
超过屈服点fy时 以虚线表示
工况一：两端嵌固轴心压杆
西北农林科技大学
y x0 0,
y'
x 0
0,
y xl 0,
y'
x l
0
有： A 0 B 1 C 0 D 0
Ak 1 Bk 0 C 0 0 A sin kl B cos kl Cl D 0 Ak cos kl Bk sin kl C 0 0 0 1 k 0 sin kl cos kl k cos kl k sin kl 0 1 l 1 1 0 0 1 0
结构稳定理论
西北农林科技大学
y x 0 0 y x l 0
B 0,
y A sin kx
A sin kl 0
A 0 否则方程的解为0，没有意义。 sin kl 0
n kn l
P n 即 EI l
crn
2
l2 nx 与之对应的挠曲线为： y A sin l 结构稳定理论
A 0 , C 0
结构稳定理论
西北农林科技大学
1 1 0 k sin kl 0 k sin kl 0 sin kl 0
kl n
(n 1, 2, 3)
2
nπ P EI l 2 EI Pcr 2 l
结构稳定理论
西北农林科技大学
3）几点结论
当P<PE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳
定平衡状态； 当P≥PE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡 状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确 定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍 处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与 挠度关系； 大挠度理论使用了弹性假设，因此屈曲后荷载有所提 高，但当挠度达到构件长度3％以上时，跨中弯曲应 力将使截面进入弹塑性状态，出现下降段，如上图所 示。因此轴心压杆的屈曲后强度提高时没有意义的。
确定轴心受压构件临界荷载值不简单的原因： (1)理想轴心受压构件在实际结构中并不存在，因此在 理想条件下求出的临界荷载值并不能直接应用于轴 心受压构件的稳定设计。
• （2）轴心受压构件的弹性分析与弹塑性分析差别 • （3）将理论分析结果用于结构轴心受压构件的设
很大。对于某一构件，用弹性方法还是用弹塑性方 法确定其临界荷载取决于构件的具体情况。 计是稳定分析的目的，由于影响因素众多，研究工 作仍不完善，需要做大量的工作。
结构稳定理论
西北农林科技大学
二、 理想轴心受压构件的非弹性弯曲失稳
(inelastic buckling)
理想弹性轴压杆屈曲的适用范围
当σcr>比例极限σp时，欧拉公式
不
再适用。
因为前面推导时用到 M EIy '， ' E为弹性模量，应该是不变的；而 弹塑性阶段时模量将发生变化。
各种支承情况的边界条件为： 铰支： y 0,
y' ' 0 y' 0 y ' ' ' k y ' 0
2
剪力Q＝0， 由前面的微分方程得：
固支： y 0,
自由端： y ' ' 0,
EIy' ' Py M A
