三角换元法摘要：本文归纳总结了三角换元法的基本用法，以常见例题的形式讲述了三角换元法在解题过程中的具体应用。

大家知道，换元法的实质是通过换元将原来比较复杂的、非标准的形式转化为简单的、标准的形式，以利于揭示问题的本质、题目的分析和解决。

三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用。

一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索。

具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式c bx ax ++2总是可以转化为22t k -、t k +2或22k t -的形式，其中t 为变量，k 为非负常量。

现对于此类问题归纳如下：1．形如),(22x a x f y -=的形式，其中f 是x 和22x a -的代数函数。

令)22,0(,sin ππ≤≤->=t a t a x 此时，[]a a x ,-∈或令),0,0(,cos π≤≤>=t a t a x同理[]a a x ,-∈，2．形如),(22a x x f y +=的形式，其中f 是x 和22x a +的代数函数。

令),22,0(,tan ππ<<->=t a t a x 此时，),(+∞-∞∈x 或令),0,0(cot π<<>=t a t a x),(+∞-∞∈x 。

3．形如),(22a x x f y -=的形式，其中f 是x 和22a x -的代数函数。

令),23,20,0(,sec πππ<≤<≤>=t t a t a x 此时，),,[],(+∞⋃--∞∈a a x 或令t a x csc = ),20,02,0(ππ≤<<≤->t t a 其中),[],(+∞⋃--∞∈a a x 。

注：上面替换中应注意，t 的范围应满足：1°根式中变量的取值要求。

2°二次根式的化简唯一。

以上是常见的用法，其具体应用现分类介绍如下：一、三角换元法在解方程及解不等式中的应用。

例1． 解方程：123512=-+x x x 解：该方程的根必然为正（否则左负右正），所以设)20(,sec π≤≤=t t x ，则方程变为1235tan sec sec =+t t t 变形整理得：05762sin 5762sin 12252=--t t ∴ 25242sin =t 或49242sin -=t ∵ 20π<≤t∴ π<≤t 20故 49242sin -=t 应舍去，由25242sin =t 得2572cos ±=t 当2572cos +=t 时，得54cos =t ，∴ 45=x当2572cos -=t 时，得53cos =t ，∴ 35=x故原方程的根为 45=x 或 35=x说明：此题关键是去掉根式，易联想到αα22tan 1sec =-的形式，换元也就水到渠成了。

例2． 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+23922y x y x 。

解：由题意知,0,0>>y x 则设,sin 3α=x 其中,2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πα那么αsin 3=y 此时 ααcos 3sin 3+=+y x )4sin(23πα+=23= 即 1)4sin(=+πα∴4πα= 从而 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==223223y x所以方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==223223y x说明：题目的实质是在圆上找一点，使其纵坐标之和为定值，注意到半径与定值的大小关系，设参数时角的范围可适当缩小。

例3． 实数y x ,满足1,1x y ≥≥，且2222(log )(log )log ()log ()a a a a x y ax ay +=+当1a >时，求log ()a xy 的取值范围。

解：此题直接求解较难，若令log ,log ,a a u x v y ==由1,1x y ≥≥可得0,0u v ≥≥，于是问题转化为：“已知0,0u v ≥≥，且22(1)(1)4,u v -+-=求u v +的取值范围”，再做三角变换，令[]12cos ,12sin ,0,2u v θθθπ=+=+∈，则 22cos 2sin u v θθ+=++2)4πθ=++由0,0u v ≥≥得11cos ,sin 22θθ≥-≥-∴ 211,6312412ππππθθπ-≤≤≤+≤∴当sin()14πθ+=时，max ()2u v +=+当sin()sin412ππθ+=或11sin12π时，min ()1u v +=∴ 12u v +≤+≤+故 log ()a xy 的取值范围是1⎡++⎣。

说明：本题条件较为复杂，解题方向不明确，所以通过有理代换，三角代换揭示了问题的几何意义。

二、三角换元法在证明中的应用例4． 若*222,,,,3,,a b c R a b c n n N ∈+=≥∈则n n na b c +<。

证明：设sin ,cos ,(0,)2a b c c πααα==∈ ∵0sin 1,0cos 1αα<<<< ∴22sin sin ,cos cos nnαααα<< ∴ sin cos n n n n n na b c c αα+=+ (cos sin )nnnc αα=+22(cos sin )n nc c αα<+=故 nnna b c +<说明：题目综合难度较大，但通过换元后利用单调性巧证，题目的关键在于放缩之后利用 22sin cos 1αα+=，为解题带来了便利。

例5． 已知0,0,21x y x y >>+=，求证：113x y+≥+ 证明：由于0,0,21x y x y >>+=，可设221sin ,cos ,(0,)22x y πααα==∈ 则221121sin cos x y αα+=+ 222(1cot )1tan αα=+++ 223(2cot tan )αα=++3≥+其中等号在 1,12x y =-= 时成立。

故113x y+≥+。

说明：含有条件不等式的证明因题而异，此题换元思想的来源在于22sin cos 1αα+=和21x y +=的类比联想。

当然此题也可以采用整体换元。

例6． 设x y z xyz ++=，求证：222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y z y z x z x y xyz --+--+--≥。

证明： ∵x y z xyz ++=，故可设 tan ,tan ,tan ,()x y z αβγαβγπ===++=∵ cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 21αββγγα++=gg g ∴2222221tan 1tan 1tan 1tan 1tan 1tan 12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan αββγγααββγγα------++=g g g即2222221111111222222x y y z z x x y y z z x------++=g g g 两边同乘以4,xyz 就得所证之式。

说明：此题换元思想在于：在非直角三角形中，其中三个内角,,αβγ的正切之间有关系式tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=g g ，它虽然没有正式提出来，但相当重要。

三．三角换元法在解析几何中的应用。

例7．一条直线过点P （3，2）与 ,x y 轴的正半轴交于A 、B 两点，若ABC V 的面积最小（O 为原点），求此时直线的方程。

解：设BAO θ∠=(0)2πθ<<,则32cot OA=+32tan OB θ=+，那么12ABC S OA OB =V g 1(32cot )(23cot )2θθ=++16(9tan 4cot )2θθ=++6612≥+=当且仅当9tan 4cot θθ=时，即2tan ,3ABC S θ=V 取最小值12。

∴ 2tan()tan 3AB k πθθ=-=-=-故 直线方程为23120x y +-=。

说明：此题已知直线上的点坐标，求其方程，在于求出其斜率，即tan θ。

因此三角思想由此而生，换元也顺理成章。

例7． 在椭圆2244x y x +=上求点(,)P x y 使22d x y =-取最小。

解：设(22cos ,sin ),P θθ+则 22d x y =-22(22cos )sin θθ=+- 25cos 8cos 3θθ=++2415cos 55θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭当4cos 5θ=-时，，点P 坐标为23(,)55或23(,)55-时，min 15d =-。

当cos 1θ=时，点P 坐标为(4,0)时，max 16d =。

说明：此题若直接求解显得生硬，而且很繁，联想椭圆的参数方程，运用三角函数性质来解就简单了许多。

例8。

已知点P 在圆A ：221(2)4x y +-=上运动，Q 点在椭圆2244x y +=上运动，求 PQ 的最大值及此时P 、Q 点的坐标。

解：在椭圆上任取一点记为Q ，连接QA （A 为圆心）并延长交圆于P ，在圆A 上取异于点P 的任一点P ，易知11PQ PA AQ PA AQ PQ =+=+> 于是问题转化为求定点(0,2)A 到椭圆上动点Q 的最大值问题，设(2cos ,sin )Q θθ则[)0,2θπ∈，2224cos (sin 2)AQ θθ=+-23sin 4sin 8θθ=--+ 22283(sin )33θ=-++当2sin 3θ=-时，1326PQ ==最大。

此时，cos θ=，∴Q 点的坐标为（2)3-。

下面求此时P 点的坐标∵ 5AQ k =±∴直线AQ 方程为2,y x -=与已知圆A 方程联立易求出P 点的坐标为(2+。

说明：此题同例8一样，运用参数方程回避了大量复杂运算。

四．三角换元法在求函数最值中的应用例10．求函数y =的值域。

解：所给函数可化为y 令 2210sin(0)2x παα+=≤≤，则y αα=)αϕ=+其中1cos 2ϕϕ==， 所以6πϕ=， 因此1sin sin()12ϕαϕ=≤+≤，y ≤≤。

说明：此题目有两个根式，平方去根号需两次，很繁，而采用换元法去根号使得题目变得简单易做。

例11．已知0,0,1a b a b >>+=，求(,)f a b =的最大值。

解：设22112sin ,2cos ,(0,)222a b πααα+=+=∈，则(,)f a b ==)4πα=+∵ 02πα<<∴sin()124πα<+≤ 故 max (,)2f a b =说明：题目中1a b +=与去根号暗示了三角换元法和利用22sin cos 1αα+=来解题。