5.关于yoz面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
6.关于zox面的反射
坐标表示为：
x' x y' y z' z
J
z
x y
34
三维复合变换
步骤：
1。J轴绕Z轴转φ 角至yoz平面，成为J1。 2。J1轴绕X轴转γ 角后与z轴平行，成为J2。 3。立体绕J2轴转θ 角 4。从J2返回J1。 5。从J1返回J。
J2 J
J2
z
J1
z
J1
z
J1
x
y
x
y
x
y
35
投影变换
36
投影变换
显示器只能用二维图形表示三维物体，因此三维 物体就要靠投影来降低维数得到二维平面图形 把三维物体转变为二维图形的过程称为投影变换
1 b d 1 T g h 0 0 c f 1 0 0 0 0 1
错切变换
1 b d 1 T g h 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
三维错切变换中，一个坐标的变化受另外两个坐
标变化的影响。
如果变换矩阵第一列中元素d和g不为0，产生沿x
同理可得，绕y轴旋转变换：
x ' z sin x cos y' y z ' z cos x sin
z 绕y轴旋转 x
cos 0 T sin 0
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
三视图
三视图
三视图是正投影视图 包括主视图、俯视图和侧视图 投影面分别与y轴、 z轴和x轴垂直 将三维物体分别对正面、水平面和侧平面做正 投影得到三个基本视图
三视图
z
主视图
侧视图
z
0
y
x
0
y
俯视图
x
y
正三棱柱的立体图
正三棱柱的三视图
主视图的形成：
直接向V面（XOZ坐标面）投影；
二维变换
x'

y ' 1 x
a b c d y 1 l m
q p s
abcd对图形作缩放、旋转、对称、错切变换 lm对图形作平移变换 qp对图形作投影变换 s对图形作整体变换 acl对x’起作用，bdm对y’起作用，qps对整体起 作用。
6
三维齐次坐标
对于线框模型的变换，通常是以点变换为基础 三维几何变换的基本方法是把变换矩阵作为一 个算子，作用到变换前的图形顶点集合的坐标 矩阵上，得到变换后新的图形顶点集合的坐标 矩阵 连接变换后的新的图形顶点，可以绘制出变换 后的三维图形。
设图形变换前的顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x1 y1 z1 1 x y2 z2 1 P 2 xn y n z n 1
跨入计算机殿堂的入门篇
计算机图形学 施智平
shizhiping@
第六章
三维图形基本几何变换矩阵 平行投影 透视投影
三维基本几何 三维基本几何变换矩阵 三维复合变换 投影变换 透视变换 本章小结 习题
三维基本几何变换
三维变换矩阵 三维几何变换
2.关于y轴的反射
变换的坐标表示为：
x' x y' y z' z
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
1 0 变换矩阵为： T 0 0
3.关于z轴的反射
x' x y' y 变换的坐标表示为： z' z
三维变换矩阵
三维几何变换 三维几何变换是二维几何变换的推广 三维几何变换在齐次坐标空间中可以用 4×4的变换矩阵表示 变换矩阵： a b c p d e f q h i j r l m n s
8
三维基本几何变换
三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标 轴进行的几何变换 假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后 为p'(x',y',z')。
投影变换
S S S
(a)透视投影
(b)正投影
(c)斜投影
投影变换可分为两大类：
透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的；
平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的； 平行投影的最大特点是无论物体距离视点多远，投影后 的物体尺寸保持不变。 平行投影可分成两类：正投影和斜投影。
38
x' x y ' y cos z sin z ' y sin z cos
z
绕x轴旋转 x
0 1 0 cos T 0 sin 0 0
z
0 sin cos 0
0 0 0 1
y
x
y
2. 绕y轴旋转
x z
y
y
三维复合变换
32
三维复合变换
基本几何变换是相对于坐标原点和坐标轴进行 的几何变换 相对于任意点和任意方向的几何变换通过三维 复合变换来实现 对三维图形按顺序进行多个基本变换，即可完 成三维复合变换，复合变换矩阵是每一步变换 矩阵相乘的结果
33
三维复合变换
例子：使三维图形绕J轴旋转θ角 思路：将J轴重合Z轴之后，使立体旋转θ角 ，然后返回
则三维图形基本几何变换有
P' P T
z1 b e h m c f i n p q r s
即：
x1' ' x2 ' xn
' y1' z1 1 x1 ' ' y 2 z 2 1 x2 ' ' y n z n 1 xn
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
变换矩阵为：
4.关于xoy面的反射
x' x y' y z ' z
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1
变换的坐标表示为：
1 0 变换矩阵为： T 0 0
0 0 0 1
x
y
x y
反射变换
三维反射分为两类： 关于坐标轴的反射 关于坐标平面的反射
1.关于x轴的反射
坐标表示为：
变换矩阵为：
1 0 0 1 T 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
x' x y' y z' z
x
z
y z
h＝0时，错切平面离开x轴， 沿y方向移动bx距离。
x
y
3.沿z方向错切
d＝0，g＝0，b＝0，h＝0
x' x y' y z ' z cx fy
1 0 T 0 0
0 1 0 0
c f 1 0
0 0 0 1
z
c＝0时，错切平面离开y轴， x 沿z方向移动fy距离； f＝0时，错切平面离开x轴， 沿z方向移动cx距离。
变换后的顶点集合的规范化齐次坐标矩阵为：
x1' y1' z1' 1 ' ' ' x2 y 2 z 2 1 P' ' ' ' xn y n z n 1
变换矩阵为：
a d T g l
b e h m
c f i n
p q r s
三维坐标，右手坐标系
y
x
旋转轴 正的旋转方向 x y->z z y z->x z x->y 三维齐次坐标 (x,y,z)点对应的齐次坐标为 ( xh , yh , zh , h)
xh hx, yh hy, zh hz, h 0
标准齐次坐标(x,y,z,1)
7
将三棱柱向xoy面作平行投影得到俯视图。 设三维物体上任一点坐标用P(x，y，z)表示 它在xoy面上投影后坐标为P’(x’，y’，z’) 其中x’=x，y’=y，z’=0。 1 0 0 0
x
'
y'
z ' 1 x

y 0 1 x
y
0 1 0 0 z 1 0 0 0 0 0 0 0 1
x
'
y'
z ' 1 x 0 z 1 x

y
1 0 z 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
主视图投影变换矩阵为：
TV Txoz 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
⑵俯视图
p' x'
y ' z ' 1 p T3 D x
y
a d z 1 h l
b e i m
c f j n
9
p q r s
其中
对图形进行比例、旋转、
反射和错切变换。 对图形进行平移变换。

对图形进行投影变换。

对图形进行整体比例变换。
三维几何变换
S x 因此，三维比例变换矩阵为： 0 T 0 0
这里Sx，Sy，Sz是比例系数
旋转变换
三维旋转一般看作是二维旋转变换的组合