第五章频率域方法第5章频域分析法基本要求5－1 频率特性5－2 典型环节的频率特性5－3 系统的开环频率特性5－4 频率稳定判据5－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系5－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系基本要求1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性曲线及对数频率特性曲线。
3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。
5. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其它们的应用。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定性关系。
8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。
一、控制系统在正弦信号作用下的稳态输出5－1 频率特性()sin r r t A tω=输入信号：22)(ωω+=s A s R 其拉氏变换式输出1()ni i i C B D C s s s s j s j ωω==++-+-∑1()()()()i n s t j t j t ii t s c t C e De Be c t c t ωω-==++=+∑拉氏反变换得[()]2()2j j r j A e πφωφω∠-=⋅22()()()2r s j r A D s s j s A j j ωωφωωφω==⨯-+=⨯其中同理B [()]2()2j j r j A e πφωφω-∠-=⋅将B 、D 代入（5－5）则[()][()]22()()(2j t j j t j s r j c t A e e ππωφωωφωφω+∠--+∠-=⋅+()cos(())2r j A t j πφωωφω=⋅+∠-()sin(())r j A t j φωωφω=⋅+∠)sin(ϕω+=t A c （5－6）•式中()c rA j A φω=⋅()j ϕφω=∠从式（5－6）看出，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。
二、频率特性的定义线性定常系统，在正弦信号作用下，输出的稳态分量与输入的复数比，称为系统的频率特性（即为幅相频率特性，简称复相特性）。
()()|()|()|j j s j s j j e φωωφφωφω∠===频率特性表达式为例子以RC 网络为例•其传递函数11)()(+===ωωωTj s G j G j s 11)(+=Ts s G )(tan 211)(1ωωT j e T --+=11)()(+===ωωωTj s G j G j s 频率特性三、频率特性的几种表示方法1、幅频特性、相频特性、幅相特性)()()(ωωωj G j G j G ∠=)()(ωφωj eA ∞→0:ωωω~)(A ωωφ~)(=，为系统的幅频特性。
为系统的相频特性。
图5－2RC网络的幅频特性和相频特性图5－3 RC网络的幅相特性曲线2。
对数频率特性•对数频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包括对数幅频和对数相频两条曲线()20lg ()~(lg )L A ωωωω=对数幅频特性：()~(lg )ϕωωω对数相频特性:图5－4 对数坐标刻度图注意–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，是不均匀的。
——这种坐标系称为半对数坐标系。
–在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频程的长度都是相等的。
–为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念，即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐标分贝数的变化量。
0)(j e K K j G ⋅==ω5－2 典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）K A =)(ωKL lg 20)(=ω0)(=ωϕ幅频特性相频特性对数幅相特性图5－5 比例环节的频率特性曲线二、积分环节21)(πωωj e j G -=幅相特性s s G 1)(=传递函数相频特性是一常值2π-图5－6 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线对数频率特性图5－7三、惯性环节（一阶系统）11)(+=Ts s G 传递函数ωωωωT j eT Tj j G 1tan 21)(111)(--+=+=幅相特性图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线对数频率特性()()11lg 2022+==ωωωT A L 1lg 2022+-=ωT ()ωωϕT G 1tan --=∠=当,1<<T ω()0=ωL 当()ωωT L lg 20-=,1>>T ω图5－9 惯性环节的对数频率特性曲线四、振荡环节（二阶系统）2222)(nn ns s s G ωζωω++=传递函数222222()()2()2nn nnnn G j j j j ωωωζωωωωωωζωω=++=-+频率特性1.幅频特性、相频特性、幅相特性22222222()()(2)112nnn n n A ωωωωζωωωωζωω=-+=⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2112tan)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-nnωωωωζωϕ图5－11谐振频率212m n ωωζ=-谐振峰值21()21m m A ωζζ=-图5－12 振荡环节的幅相特性图5－13 振荡环节的对数幅频渐进特性2.对数频率特性五、微分环节ss G =)(2)(πωωωjej j G ==图5－15六、一阶微分环节1)(+=s s G ττωτωωτω1tan 21)(1)(-+=+=j ej j G 图5－16七、二阶微分环节12)(2+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n s s s G ωζω12)(2+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n j j j G ωωζωωωn n j ωωζωω2122+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22221)()(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==n n j G A ωωζωωωω2112t an)()(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠=-nnj G ωωωωζωωϕ图5－17 二阶微分环节的对数频率特性))(tan (211)(111)(ωπωωωT j eT Tj j G -+-+=-=八、一阶不稳定环节11)(-=Ts s G 图5－18非最小相位环节•定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为非最小相位环节（或系统）。
•由图5－18看出，一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。
相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又称非最小相位环节。
九、延迟环节()()()ses R s C s G τ-==()1=ωA ()()τωωωϕ-=∠=j G ()0=ωL 延迟环节输入输出关系为()()c t r t τ=-5－3 系统的开环频率特性•一、开环幅相特性曲线•设系统开环传递函数由若干典型环节串联()()()()123G s G s G s G s =()313(())1()i i j G j i i G j G j e ωωω=∠=⎡⎤∑⎢⎥=⋅⎢⎥⎣⎦∏开环频率特性系统开环幅频与相频分别为()()31()i i A G j G j ωωω===∏()()()()123ϕωϕωϕωϕω=++()331120lg ()20lg ()20lg ()i i i i L G j G j G j ωωωω=====∑∏1、开环幅相特性曲线（1）当()∏=+=ni i s T KsG11系统开环传递函数不包含积分环节和微分环节图5－20 系统开环幅相特性曲线时，（2）当()()()∏∏==++ =niimiisTsKsG1111τ图5－21 取m=1,n=3时系统开环幅相特性曲线系统开环传递函数分子有一阶微分环节，其开环幅相特性曲线出现凹凸时，（3）当()()1+=Ts s Ks G ν图5－22 含有积分环节时的开环幅相特性曲线开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。
时，2.系统开环幅相的特点①当频率ω →0 时，其开环幅相特性完全由比例环节和积分环节决定。
②当频率ω→∞时，若n>m，G(j ω)|=0相角为(m-n)π/2。
③若G(s)中分子含有s因子环节，其G(jω)曲线随ω变化时发生弯曲。
④G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关键点。
二、开环对数频率特性曲线的绘制()()()()()ωϕωϕωϕωϕωϕ4321+++=系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。
系统开环对数幅频与对数相频表达式为()441120lg ()20lg ()20lg ()i i i i L G j G j G j ωωωω=====∑∏例5－1•绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。
)1)(11.0(10)(++=s s s G 解：1111.0110)1)(11.0(10)(+⋅+⋅=++=s s s s s G 系统开环传递函数开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。
将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。
例5－2)15.0(105.0111110)20)(1()2(100)(+⋅+⋅+⋅⋅=+++=s s s s s s s s s G (0.51)s +51011s 211s +310.051s +4五个基本环节绘制开环系统的波特图一般规则：–将写成典型环节之积；–找出各环节的转角频率；–画出各环节的渐近线；–在转角频率处修正渐近线得各环节曲线；–将各环节曲线相加即得波特图。
5－4 频率稳定判据一、奈奎斯特稳定判据图5－17 反馈控制系统()()()s N s M s G 11=()()()s N s M s H 22=。