4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
通常在进行傅立叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数
[ f ( x, y )( 1) x y ] F (u M / 2, v N / 2)
将傅立叶变换的原点(即F(0,0))被设置在u=M/2,v=N/2上,该点为二维 DFT设置的M×N区域的中心
u 0,1,...M 1; v 0,1,..., N 1
当u=,v=0时
F (0,0)
f ( x, y) MN
x 0 y 0
空间域和频率域抽样点之间的关系如下所示： 1 1 v M 1 N u 1 1 M x M y
为f(x,y)的平均值,即原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度级.
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
二维傅立叶变换的基本性质：平移
f ( x, y )e j 2 ( u0 x / M v0 y / N ) F (u u0 , v v0 ) f ( x x0 , y y0 ) F (u , v)e j 2 ( u0 x / M v0 y / N )
u
M 1
x 0,1, 2,..., M 1
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
e j cos j sin
1 F (u ) M
M 1 x 0
f ( x)[cos 2 ux / M j sin 2 ux / M ]
u 0,1, 2,..., M 1
因此傅立叶变换的每一项[即对于每个u值,F(u)的值]由f(x)函数所有值的和组成. f(x)的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。 F(u)值的范围覆盖的域（u的值）称为频率域，因为u决定了变换的频率成分. F(u)的M项中的每一个被称为变换的频率分量。 傅立叶变换可看成“数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分. 使我们能够通过频率成分来分析一个函数。
f ( x, y)




F (u, v)e j 2 (ux uy ) dudv
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
离散形式的傅立叶变换：
1 F (u ) M
M 1
f ( x)e j 2 ux / M x 0
u 0,1, 2,..., M 1
f ( x ) F (u )e j 2 ux / M
u
1 M x
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
二维DFT及其反变换
M×N的函数f(x,y)的DFT:
1 F (u , v ) MN
反变换：
M 1 N 1

x 0 y 0
f ( x, y )e j 2 ( ux / M vy / N )
u 0,1,...M 1; v 0,1,..., N 1
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
用极坐标表示F(u)比较方便：
F (u ) | F (u ) | e j ( u )
其中 | F (u ) | R 2 (u ) I 2 (u ) 频率谱 相角(相位谱) 功率谱
(u )= arctan
I (u ) R (u )
P (u ) | F (u ) |2 R 2 (u ) I 2 (u )
f ( x, y ) F (u , v )e
u 0 v 0
M 1 N 1
j 2 ( ux / M vy / N )
x 0,1,..., M 1; y 0,1,..., N 1
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
二维变换的傅立叶谱、相角、频率谱
| F (u , v) | R 2 ( x, y ) I 2 ( x, y ) I (u , v ) (u , v) arctan M 1 N 1 j 2 ( ux / M vy / N ) R (u , vF ) (u, v) 1 f ( x , y ) e 2 2 2 MN x P (u , v) | F (u , v) | R (u , v) I (u , v )0 y 0
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换
单变量连续函数f(x)的傅立叶变换F(u)定义为：
F (u)



f ( x)e j 2 ux dx
f ( x) F (u)e j 2 ux du

F (u, v)




f ( x, y)e j 2 (uxuy ) dxdy
为确保移动后的坐标为整数，要求M,N为偶数。当在计算机中使用傅立叶变换 时，总和的范围为u从1到M, v从1到N。实际的变换中心将为u=(M/2)+1和 v=(N/2)+1.
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
y
x
v
u
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
R(u)和I(u)分别为F(u)的实部和虚部
4.2 傅立叶变换和频率域的介绍
在离散傅立叶变换中,函数f(x)中x的取值不一定是[0,M-1]中的整数值, 而是任意选取的等间隔点.
f ( x) f ( x0 xx)
u总是从0频率开始
F (u) F (uu)
且u和x之间满足如下关系：
第四章
频率域图像增强
傅立叶变换和频率域介绍 平滑的频率域滤波器 频率域锐化滤波器 同态滤波器
4.1 背景知识
傅立叶级数： 任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和 /或余弦 和的形式。复杂函数可以用由简单的正弦和余弦函数表 示。
在周期2内：
a0 f ( x) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1
a0 ak 1
系数：

1
f ( x)dx



1
f ( x) cos kxdx


bk

f ( x)sin kxdx


傅立叶变换： 甚至非周期函数（曲线是有限的情况下）也可以用正弦和 /或余弦乘以加权函数的积分表示。 用傅立叶级数或变换表示的函数特征可以通过傅立叶反 变换重建，不丢失任何信息。