2).a2-b2=( a+b)(a-b) 3).a2+2ab+b2=(a+b)2
式化为几 个整式的 积的形式
第12章 整式的乘除
12.5 因式分解（第1课时）
因式分解
定义
把一个多项式化为几个整式的乘积的
形式,这就是因式分解.
比一比
因式分解与整式乘法的关系 ◆ 因式分解的特点：由和差
形式（多项式）转化成整式的积 的形式；
◆ 整式乘法的特点：由整式 积的形式转化成和差形式（多项 式）。
快言快语
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1)2x(x-3y) = 2x2-6xy
整式乘法
(2)x2+4x+4 = (x+2)2
因式分解
(3) m2-4 = (m+2)(m-2)
因式分解
(4)2πR+ 2πr = 2π(R+r)
(2)a2 b2 （a b ）（a b ）
(3)a2 2ab b2 （a b ）2
练习并对比
分解下列三个数的质因数
（1）42=7×3×2 （2）70= 7×5×2
（3）15= 5×3
42、70、15这几个数可以化 为几个整数的积，叫做因数 分解。
比 较
1).ma+mb+mc= m•( a+b+c) 都是多项
a-3
2. 多项式中的公因式是如何确定的？ （提示：从公因式的系数，字母，字母的指数）
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
公因式的系数是多项式各项系 定系数 数的最大公约数。
字母取多项式各项中都含有的 定字母 相同的字母。
定指数
相同字母的指数取各项中最小 的一个，即字母最低次幂
例: 找 3 x 2 – 6 x 的公因式。
（2）已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2
的值.
结果是：15
拓展题
２、把下列各式因式分解：
(1)2m(x+y)+n(x+y);
提炼
(2)a(p-q)-4b(q-p);
公因式既可以是一个单项式 (3)4a(x-y)2-2b(y-x)2; 的形式，也可以是一个多项式的
(4)2(a-3)2-a+3.
因式分解
ma mb mc
公因式
多项式中各项都含有的相同因式，叫 做这个多项式各项的公因式。
小组探究过关武器：
1. 确定下列各多项式中的公因式？
（1） a c+ b c
c
（2）3 x2 +9x
3x
（3） a2 b – 2a b2 + ab
ab
（4） 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)
当多项式第一项系 数是负数，通常先 提出“-”号，使括 号内第一项系数变 为正数，注意括号 内各项都要变号。
小明解的有误吗？
把9x2 6xy 3x因式分解.
解：原式 3x • 3x 3x • 2y 3x •1
3x(3x 2y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式
后剩余的项是1。
4、用提公因式法因式分解应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉； （3）多项式的首项取正号；
（4）公因式是多项式时，要注意符号问题。
巧妙计算 （1）13.8×0.125+86.2×1/8
解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100 =12.5
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ，（即将 多项式化为两个因式的乘积）.
（2）把 -24x3 –12x2 +28x 因式分解.
解：原式= (24x3 12x2)28x (4x • 6x2 4x •3x 4x• 7) = 4x(6x2 3x 7)
3
系数：最大 公约数。
1 指数：相同
x
字母的最低
字母：相 次幂
同字母
所以公因式是3 x 。
ma+mb+mc=m( a+b+c )
如果一个多项式的各项含有公因式，那么 就可以把这个公因式提出来，从而将多项式 化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的 方法叫做提公因式法。
寻找过关武器
例1 把 3a2-9ab因式分解.
解:2x3+6x2+2x =2x(x2+3x)
聪明的同学你认为他们的解法正确吗？试说明理 由。
1、计算（-2）101+（-2）100.
2、已知, 2x y 4 , xy 3 求代
数式 2x2 y xy2 的值。
谢谢大家！
看你能否过关？
把下列各式因式分解：
3x3 3x2 9x
4a3b3 6a2b 2ab ③ 5x(x y) 2y(x y)
a
小结
1、什么叫因式分解？
2、确定公因式的方法：
（1）定系数 （2）定字母 （3）定指数 3、提公因式法因式分解步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
12.5 因式分解
回忆
运用前面所学的知识填空：
(1)m(a b c) ma mb mc
(2)(a b)(a b) a2 b2
(3)(a b)2 a2 2ab b2
试一试
你能发现这 两组等式之 间的联系和 区别吗?
填空：
(1)ma mb mc （m）（ a b c）
形式.
整体思想是拓展题
１、把下列多项式因式分解：
（1）12x2y+18xy2； （2）-x2+xy-xz； （3）2x3+6x2+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：
甲同学：
乙同学：
丙同学：
解:12x2y+18xy2 =3xy(4x+6y)
解:-x2+xy-xz =-x(x+y-z)