因式分解 练习课
精读定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。

理解因式分解的要点：1是对多项式进行因式分解；2每个因式必须是整式；3结果是积的形式；4各因式要分解到不能再分解为止。

因式分解和整式乘法的关系。

例1、下列各式的变形中，是否是因式分解，为什么？（1）()()1122+-+=+-y x y x y x ； （2）()()2122--=+-x x x x ；
（3）232236xy xy y x ⋅=；
（4）()()()()221a y x a x y y x --=-+-；
1. 提公因式法——形如ma mb mc m a b c ++=++()
2. 运用公式法——平方差公式：a b a b a b 22-=+-()()，
完全平方公式：a ab b a b 2222±+=±()
3. 十字相乘法 x p q x pq x p x q 2+++=++()()()
4. 分组分解法 （适用于四次或四项以上，①分组后能直接提公因式 ②分组后能直接运用公式）。

例2、因式分解（本题只给出最后答案）(1) ;823x x -
(2) .9622224y y x y x +- (3) ;6363223abc c a b a a --+ (4) ()
.42
22222a c b c b -+-
(5) 121164+--n n a b a =14(2)(2)n a b a b a -+- (6) ;361222422y xy y y x +-- (7) .
2939622++-+-y x y xy x 例3、因式分解（本题只给出答案）1、()();742--+x x =(3)(5)x x +-
2、()();563412422++---x x x x
3、()()()()566321+--+-x x x x
4、().566)67(22+--+-x x x x 小结：
1、因式分解的意义 左边 = 右边 ↓ ↓
多项式 整式×整式（单项式或多项式）
、多项式有因式乘积项 → → 分解因式 因式分解练习：2、;4482--a a 3、()();4
4
y x y x --+
4、;12222c b a ab +--
5、()();2222b a cd d c ab +++
6、;4215322222y a xy a x a -- 8、.41422a b a -+- 9、()().
20158122-++-a a a
因式分解 强化练习 答案
1. 填写下列各式的空缺项，使它能用完全平方公式分解因式。

(1) 221()361
36x x x --+=
(2) 2229(4)632
93
14x y x x y y =+++
(3) 224914(7)a a a +--= (4) 2236369(3)6b b b -+=-
(5) ()2
2()18)66(4x y x y x y -+-+-+=⎡⎤⎣⎦ 2. 选择
(1) 用分组分解法把4221a a a ---分解因式，正确的分组方法是：（ D ）
A. 42()(21)a a a --+
B. 42(2)(1)a a a --+
C. 42(1)(2)a a a --+
D. 42(21)a a a -++ (2) 多项式2x ax bx ab --+可分解因式为（ C ）
A. ()()x a x b ++
B. ()()x a x b -+
C. ()()x a x b --
D. ()()x a x b +- (3) 计算)10
1
1)(911()311)(211(2232----
的值是（ D ） A.
12 B. 120 C. 110 D. 11
20
(4) 将22233x xy x y -+-分解因式，结果是（ B ）
A. (1)(3)x x y +-
B. 2(1)(3)x x y +-
C. 2(1)(3)x x y --
D. 22(1)(3)x x y -+
3. 填空
(1) 若多项式243()()x x x m x n -+=++，则m= -1，n= -3。

(2) 210(12)(24)2x x x x +-=+- (3) 2295)(32(14)x xy y x x --=-+
(4) 2_21x x ++，给x 添加系数，使该式可以十字相乘。

答案：10，-10，22，-22 (5) 22244x xy y a ++-分组后，先用完全平方公式分解，再用平方差公式分解。

(6) ()()x a x b k ---中有因式x+b ，则k=2b(a+b)。

4. 应用因式分解计算
(1) 2998998016++ (2)
987987987987
1232644565251368136813681368
⨯
+⨯+⨯+⨯5. 因式分解
(1) 42109x x -+ =22(1)(9)x x --
=(1)(1)(3)(3)x x x x +-+- (2) 327()5()2()x y x y x y +-+-+
=2
()7()5()2x y x y x y ⎡⎤++-+-⎣⎦
=[][]()()17()2x y x y x y ++-++ =()(1)(772)x y x y x y ++-++ (3) 222(8)22(8)120a a a a ++++ =22(810)(822)a a a a ++++ (4) 222241x y x y xy +--- =2222(2)(21)x y xy x y xy +--++ =22()(1)x y xy --+
=(1)(1)x y xy x y xy -++--- (5) (1)(2)(3)(4)48x x x x ----- =[][](1)(4)(2)(3)48x x x x ----- =22(54)(56)48x x x x -+-+- =222(5)10(5)2448x x x x -+-+-
=222(5)10(5)24x x x x -+-- =22(512)(52)x x x x -+-- (6) 2222a b bc c -+- =222(2)a b bc c --+ =22()a b c -- =()()a b c a b c +--+ (7) 322288a a b b a -+- (8) 3223636x x y x z xyz +-- (9) 222432a ab b bc c -++- (10) 222212x y z yz x ---+- (11) 2269103025x xy y x y -+-++ (12) 2222a a b ab a b b -+-+- (13) 43364x x x ++- (14) 222222()4a b c b c --- (15) 2()4(1)x y x y ---- (16) 44
4x y +6. 已知2
(1)()1a a a b ---=-，求22
2
a b ab +-的值。

解： 222(1)()1a a a b a a a b a b ---=--+=-+=- 所以1a b -= 7. 设n 为整数，用因式分解说明2(21)25n +-能被4整除。

解：2(21)25n +- (215)(215)(26)(24)n n n n =+++-=+- 4(3)(2)n n =+- 4是2(21)25n +-的一个因式，所以能被4整除。

8. 在六位数abcdef 中，a=d, b=e, c=f, 求证这个六位数必能被7、11、13整除。

解：abcdef=100000a+10000b+1000c+100d+10e+f 因为a=d, b=e, c=f,
所以abcdef=100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c
=100100a + 10010b + 1001c = 1001(100a+10b+c) = 7×11×13(100a+10b+c) 所以这个六位数能被7、11、13整除。

9. 已知a, b, c 为三角形的三边，且满足2220a b c ab bc ac ++---=，试说明该三角形是
等边三角形。

解：2222()0a b c ab bc ac ++---= 所以a=b, a=c, b=c 即a=b=c 所以该三角形是等边三角形。

10.小明曾作出判断，当k 为正整数时，5354k k k -+一定能被120整除，你认为小明的判
断正确吗？说说你的理由。

解：53422254(54)(1)(4)k k k k k k k k k -+=-+=--(1)(1)(2)(2)k k k k k =+-+- 因式分解的结果说明5354k k k -+是5个连续正整数的乘积，5个连续的正整数中必然包括5，也必然包括3或3的倍数（6、9），必然包括4或4的倍数（8），还必然有至少2个偶数，所以5、3、4、2是5354k k k -+的因子，5×3×4×2=120，所以
5354k k k -+一定能被120整除。

补充题：
计算(22 + 42 + 62 +……+20002)﹣(12 + 32 + 52 +……+19992). 解：平方差公式
原式=(22﹣12)+( 42﹣32)+( 62﹣52)+…..+( 20002﹣19992)
= 3 + 7 + 11 +……+ 3999（首尾相加，共有500个4002） = 4002×500 = 2001000。