数形结合在小学数学解决问题中的运用
许巷中心小学傅玲玲
[摘要]数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学的基本研究对象，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。
数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。
本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。
[关键词]数形结合；解决问题；小学数学
数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象，也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学。
数形结合的思想是数学的重要思想之一。
［1］
数形结合就是通过数(数量关系)与形(空间形式)的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。
其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。
[2]
数形结合是指在数学问题解决过程中，结合问题中各要素间的本质联系，根据实际需要，将数量关系与几何图形相结合，依据数与形的对应关系，通过数与形相互转化的方式使问题得到巧妙解决的一种思想方法。
在解决问题中，其策略具体表现为把有关数量关系的问题转化成图形性质的问题进行分析，或者将有关图形性质的问题转化成数量关系的问题加以讨论，最终解决问题。
这种思想方法不仅分析问题的代数含义，而且还要揭示其几何意义，把抽象的数学运算和直观的几何图形紧密地联系起来。
这种思想方法具备了数的精确性和形的直观性的双重优势，以数精确地分析形，或以形直观地表示数，正如数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。
故而，数形结合是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
它包含“以形助教”、“以数解形”和“数形互译”三个方面。
本文将结合小学数学中的教学实例，阐述数形结合思想在解决问题这个方面教学中的运用。
一、以数解形，使复杂的问题简单化
以数解形就是借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。
[3]有些图形过于简单，直接观察却看不出什么规律，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。
因为往往一些图形的性质，又可以赋予数量意义，寻找恰当表达问题的数量关系式，即可使几何问题代数化，以数解形，用代数的方法使问题得到解决。
如在学习了《异分母分数加减法》后曾出现这样一道题目：下列图形中阴影部分的总和分别是多少？（原正方形的面积是“1”）
初看图形，图形很简单，但大多数学生不能马上得出答案，此时，必须要借助数，通过代数方法来计算出阴影部分的面积。
已知原正方形的面积是“1”，通
过观察，发现计算图1阴影的面积，即计算1124+，学生是非常容易算的，可以直
接通分，然后求出结果。
计算图2阴影的面积，即计算111248++，难度也不大，
通分照样能够解决问题，但是如果运用数形结合的思想，学生就会发现，原来可以算得更简单，阴影部分=1—空白部分，即171=88－；则图3阴影面积等于1111115+++=1-248161616＝。
依此类推，如果计算下一个图形的阴影部分面积，即等于111111127124816128128128++++⋅⋅⋅+=-=，就变得非常方便与简洁了。
虽是面积问题，但我们运用数形结合的思想，用代数方法以数解形，使复杂的问题简单化。
二、以形助数，使抽象的问题形象化
以形助数是借助于形的直观性来阐述数之间的联系，即以形作为手段，数为目的。
[3]
在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几图1
图2 图3
何图形，转化为几何问题，可以使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，使原本抽象而复杂的问题变得形象化、简单化。
分数应用题是小学应用题教学的重点和难点，由于抽象程度比较高，学生难以理解和掌握。
在教学中，仅让学生凭借教师总结的解题技巧去按图索骥，是难以达到预期效果的，要较好地解决这个问题，就必须运用数形结合的思想。
如：一篮鸡蛋，第一次拿走整篮鸡蛋的12，第二次又拿走剩下的12，最后篮子里还有4个鸡蛋。
你知道原来这个篮子里有几个鸡蛋吗?(三年级习题) 这道题单位“l ”的量发生变化，第一次是把“整篮鸡蛋”看作单位“1”的量，第二次把“剩下的鸡蛋”看作单位 “1”的量，因此学生在解答时往往会感到困难。
只要运用数形结合的思想帮助弄清题意，这道题就简便多了。
画线段图如下：
从上述线段图中可以很清楚地看出，拿走剩下的1
2，还有4个鸡蛋，那么第
一次拿走后“剩下的鸡蛋”的数量应该是4个的2倍，即8个。
所以整篮鸡蛋的数量就是8个的2倍，即16个，列式为4×2×2=16(个)。
如此抽象的思维有了“形”
这个桥梁作为依托，思考起来既省时又省力。
又如：美术小组有25人，美术小组的人数比航模小组多 。
航模小组有多少人 ？（六年级解决问题）
这道题学生对于判断单位“1”到底是谁，谁比谁多了几人，到底应该用乘还是除，很多学生不理解题目的真正意思，易混淆分数乘除法，到底应该怎么做，学生经常会遇到困难。
因此我们可以通过画线段图理解题目意思。
单位“1”（一篮鸡蛋） 拿走 12剩下 12 单位“1” （剩下 篮鸡蛋）
拿走剩下 的 还剩4个 鸡蛋 1212 1
4
通过画线段图，可以清晰地看到是美术小组的人数比航模小组的人数要
多，多了 ，可以通过线段图写出关系式：航模小组的人数＋美术小组比航模小组多的人数＝美术小组的人数 ，即
单位“1”是航模小组，单位一未知，可以设航模小组人数为X 人，则列式为 X+ X = 25 ,解得X=20 ，则航模小组人数为20人。
重点是学生通过线段图可以清楚明确理解题中美术小组的人数与航模小组的人数的关系，从而有助于列出关系式并列式解答。
有的应用题，数量关系比较复杂，学生难以理解，借组线段图可以准确地找出数量间的对应关系，很容易解出要求的问题,,把抽象的问题形象化，清楚明了，降低题目的难度，加深了学生的理解，使学生真正懂得题目含义，便于学生解题。
三、数形互译，使模糊的问题明朗化
在解决问题过程中，经常要用到“数与“形”互译的数形结合思想，即把问题中的数量关系转译成图形，把抽象的数量关系形象化，再根据对图形的观察、分析、联想，逐步译成算式，以达到问题的解决。
[4]例如，五年级上册《鸡兔同笼》一课：鸡兔同笼，有20个头、54条腿，鸡、兔各几只?本课的内容书本上采用列表尝试法，如果采用“数”“形”互译的画图法，二年级的学生都能解答，并且可以从画图法引出数量关系，列式解答。
引导学生画图如下：
（1）画20个头 （2）每个头添上2条腿 （3）再添上剩余的14条腿
从图上可知兔有7只，鸡有13只。
然后引导学生理解数量关系：首先假设20只全是鸡，每只鸡身上长2条腿，共有20×2=40(条)腿，还剩余54—40=14(条)1
4
航模小组人数＋航模小组人数× ＝美术小组的人数 411
4
腿，鸡身上再长2条腿变成兔子，直到14条腿长完为止。
这样就得到兔子有14÷(4—2)=7(只)，鸡有20—7=13(只)，列综合算式为，兔子：(54—20×2) ÷(4—2)= 7(只)。
从这个教学过程中不难看出：“数”“形”互译，使原本模糊的问题一下子变得清晰，学生根据图以及数量关系，能清楚地明白此方法。
通过“数”“形”互译，不仅解决了问题，又使学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进，达到共同发展的结果。
由于抽象思维有形象思维作支持，运用此方法解“鸡兔同笼”的问题就变得十分简明且巧妙了。
小学数学教材编排是以数学知识的发生、发展、运用为主线，知识内容是显而易见的[5]，但教材并未明确指出数学知识中所蕴含的数形结合思想，学生也不易察觉，这就需要教师从数学发展的全局着眼，从具体的教学过程着手，有目的、有计划、适时适度地进行渗透数形结合思想的教学。
教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系，借助数形结合的“慧眼”，探索分析问题和解决问题的方法。
只有将数形结合思想方法的教学落到实处，我们的学生才能逐步形成数形结合思想，并使之成为学习数学、运用数学和发展数学的工具。
这样，学生变“学会”为“会学”，进而提高自身的数学素养，在数学学习中真正实现素质教育，这是我们数学教学着力追求的目标。
参考文献：
[1]文志君.数形结合思想在数学教学中的应用[J].考试周刊.2009,（30）:75-76.
[2]夏志新.“数形结合”就是妙[J].新课程改革与实践.2010,（7）:57.
[3]黄晓波.数形结合思想专题精讲[J].中学生数理化·中考版[J].2010,（6）:17.
[4]林振兴.“数形结合”思想在解题过程中的妙用[J].小学教学参考.2010,（5）:43.
[5]王彦伟,丁雁玲.数形结合思想在小学数学教学中的应用[J].中小学数学:小学版.2008，（11）:13.。