在 y 轴上, 则 x = z = 0
a
( >0)
a
( <0)
当 = 0时, ao,它的方向可以是 . 任意的
2. 数与向量的乘积的运算规律:
(1) 结合律: ( u a ) u (a ) (u ) a
(2) 分配律: (( a u ) b a ) a a u a b
定理1:两个非零向量 a与b平行 (方向相同或相反)
A a1
a1a2
C
B
a2
A
B
C
u
推论: P j u ( a 1 a 2 r a n ) P j u a 1 P j u a r 2 P r j u a n
定理4: 实数与向量 a的乘积在轴u上的投影， 等于乘以向量 a在该轴上的投影。 .
即 P ju (r a )P ju a r
存在唯一实数，使得 a b .
结论: 设 a表示与非零向量 a同向的单位向量.
则 a ||a ||a
或
a||a1||a||aa ||
例1:在试平用行a四和 边b形表A示B向CD量中M,A设,MABB,=MC和a,MADD.=
b
其中, M是平行四边形对角线的交点. 解: 由 a b= AC = 2MC
ab
a
bcc
b
a2
a1
3.向量减法.
(1)负向量:与 a模相同而方向相反的向量,
称为 a的负向量.记作 a.
(2)向量减法.
a
规定: a b a ( b )
a
平行四边形法则. 点重将合a, 、 作b 以 之a 一和 平b 移 为, 使邻起边 的平行四边形, 对角线向量, 为 ab .
特别: 模为1的向量称为单位向量.
模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.
3.自由向量 当向 a 与 b ,量 大小相等且方向相同,
称 a 与 b 相 .记 等 a作 b
a
b
自由向量：只有大小、方向,而无特定起点的向量. 具有在空间中可以任意平移的性质.
(二) 向量的加减法 1、向量加法 (可1)平平移设行至有四a 重边、 合形b)(.若法作起则以点a 不、 重b 为合邻, 边的平行四边形, 对角线向量, 称为a与b的和, 记作ab. (的的为2b) 起起三a点 点将角与 到aa形 、 法bb .之 的 的则ab一终终平点点行重所移合引动的, 则向,使由量
§1 向量的概念及向量的表示
一、向量的基本概念
(一) 向量的概念
1.向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.
(或矢量) 2.向量的几何表示法:
用一条有方向的线段来表示向量.
B a
以线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. A 以A为起点, B为终点的向量, 记为AB, a, a . 向量AB的大小叫做向量的模. 记为 ||AB|| 或 ||a||.
二. 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示
(一) 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的建立
z
y
o
y
o
x
x
z
x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个 空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点 O叫做坐标原点.
2. 坐标面. 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为
坐标面, 分别叫x y面. y z面、z x面, 它们将空间分
(2) 若 a,b反向，则 (a,b)
(3) 若 a,b不平行，则 (a,b)(0,)
4. 向量的投影性质.
定理 2. (投影定理) 设向量AB与轴u的夹角为
则
PrjuAB = || AB ||·cos
A
A
B
B1
B
u
定理3: 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在
该轴上的投影的和。 即 P j u ( a 1 r a 2 ) P j u a 1 P r j u a 2 r
显然
即 PjruAB x
当AB与u轴同向时， PrjuAB || AB|| ；
当AB与u轴反向时， PrjuAB || AB||
3. 两向量的夹角
设有非零向量 a,b(起点同).
b
(
a,
b)
规定：
a
a,b正向间位于0到之间的那个夹角为 a,b的夹角,
记为
(
a,
b)
或
(
b,
a)
(1) 若 a,b同向，则 (a,b) 0
a ab规律.
b
(1)交换律: a b b a
a a b b a a
b
a b c
(2)结合律:
( a b ) c a ( b c ) 例如:
a4
s a 1 a 2 a 3 a 4 s a3
三角形法则. 将a 、 b 之一平移, 使起 点终重点合作,一由向b量的, 终即点为向aa b 的.
ab
b
ab
a b
a
ab
b
(三) 数与向量的乘法
1. 定义 实数与向量 a的乘积 a 为一个向量.
其中: ||a | || ||a | ||
当 > 0时, 当 < 0时,
a a 与 与 a a 同 反;;向 向a
2. 向量在轴上的投影. 定义 设有向线段AB的起点A和终点B在轴u
上的投影分别为点A 和B . 称有向线段A B 为
向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.
B A
A'
B'
u
如果向量e为与轴u
的正方向的单位向量，
A
则向量 AB 的投影向量
e
A'
A'B' 有：
ABxe
B
B'
u
则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作 PrjuAB
有MC = 12(ab)
D
C
MA = MC 12(ab)
b
M
又 ba= BD = 2MD
A
a
B
有MMBD==M12D(b a )1 2(b a )1 2(a b )
(四) 向量在轴上的投影
1. 点在轴上投影
设有空间一点A及轴
A
u, 过A作u轴的垂直平面,
u A'
平面与u轴的交点A'叫做
点A在轴u上的投影.
成八个卦限.
z
III
II
IV x VIII
I 0
VII V
y VI
(二) 空间向量的表示
1. 点在空间直角坐标系中的坐标表示.
z
M < > (x, y, z)
zR
O
x P
x
M y y 记: 点M为M (x, y, z)
Q
特别: (1) 若点M在yz面上, 则 x = 0; 在zx面上, 则 y = 0; 在xy面上, 则 z = 0. (2) 若点M在 x 轴上, 则 y = z = 0