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初中数学分式方程典型例题讲解

a c=ac,ba c=a pa0=1形如A【例1】下列代数式中:x1x-y,是分式的有:.π2x-y,a+b,x+y,(1)x-4x+4(2)x2+2(3)x2-1(4)|x|-3(5)a=“±.a±ac=bc±da(a≠0,c≠0);第十六章分式知识点和典型例习题3.分式的乘法与除法:b•d bda÷cd=b d bd•ac【知识网络】 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;a m●a n=a m+n;a m÷a n=a m-n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m=a m b n,(a m)n=7.负指数幂:a-p=1amn【思想方法】1.转化思想转化是一种重要的数学思想方法,应用非常广泛,运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题,把生疏的问题转化为熟悉问题,本章很多地方都体现了转化思想,如,分式除法、分式乘法;分式加减运算的基本思想:异分母的分式加减法、同分母的分式加减法;解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程,从而得到分式方程的解等.2.建模思想本章常用的数学方法有:分解因式、通分、约分、去分母等,在运用数学知识解决实际问题时,首先要构建一个简单的数学模型,通过数学模型去解决实际问题,经历实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程,体会分式方程的模型思想,对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.3.类比法本章突出了类比的方法,从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则,从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧,无一不体现了类比思想的重要性,分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.第一讲分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:b c b±c(a≠0)a a8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2ab+b2(一)、分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义(一)分式的概念:B(A、B是整式,且B中含有字母,B≠0)的式子,叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.1a-b x2-y2x+y,题型二:考查分式有意义的条件:在分式中,分母的值不能是零如果分母的值是零,则分式没有意义.【例2】当x有何值时,下列分式有意义3x26-x1x-1x2.异分母加减法则:b d bcc=ac±daac题型三:考查分式的值为0的条件:1、分母中字母的取值不能使分母值为零,否则分式无意义(1)x-1x+3(2)x+1≤0(2)8-x为正;3+(x-1)2为负;x+3为非负数.1.分式的基本性质:AB=B⨯M2.分式的变号法则:-a-b=-+b-b=(1)16|x|-3(2)(x+1)2+1(3)(2)x2-4xyz中,x,y,z分别扩大到x+4(2)x-2x+1y0.04a+b2、当分子为零且分母不为零时,分式值为零。

【例3】当x取何值时,下列分式的值为0.|x|-2x2-43.解下列不等式(1)|x|-2x+5x2+2x+3>0题型四:考查分式的值为正、负的条件【例4】(1)当x为何值时,分式4(2)当x为何值时,分式5-x(3)当x为何值时,分式x-2(二)分式的基本性质及有关题型A⨯M A÷M=B÷M-a a a=-b题型一:分式化简(约分)练习:1.当x取何值时,下列分式有意义:3-x11+1x (1)-16x2y320xy4;x2-4x+4;x-y+z(3)在分式原来的两倍,则分式大小怎么变化?2.当x为何值时,下列分式的值为零:题型二:化分数系数、小数系数为整数系数(1)5-|x-1|25-x2x2-6x+5【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.1(1)23y(2)0.2a-0.03b134x = 3 ,求x 4 + x 2 + 1 的值..- x - y(2) -a - b(3) - a - b = 3,求b - ab - a 的值. 3a + 5b 的值.5.如果1 < x < 2 ,试化简 | x - 2| x .2 - x - | x - 1 | x + y = 5,求x + 2xy + y 的值. a c = (x = 2,求 x 2 + x 2 的值. (1) a 2 - 4 x ⋅ - x 2 4x - 2 y 的值.(1)0.03x - 0.2 y0.08x + 0.5 y(2).题型三:分数的系数变号【例 2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号 学习必备 欢迎下载2.已知: x + 1x 2(1) -x + y-a -a- b 3.已知: 1 1 2a + 3ab - 2b题型四:化简求值题【例 3】已知:11 2x - 3xy +2 y4.若 a 2 + 2a + b 2 - 6b + 10 = 0 ,求 2a - bx - 1 | x | +(三)分式的乘除法题型一:分式的乘法:① 分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简 b ⋅ d)【例 4】已知: x - 11 c② 整式和分式相乘,直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子,分母不变。

即 a ⋅ =( )b【例1】 计算下列各分式:a 2 - 1 ⋅ a 2 - 2a + 1 a 2 + 4a + 4 ;(2) a 2 - 4b 2 ab 3ab 2 ⋅ a - 2b ;(3) 42(x 2 - y 2 ) 35( y - x)3【例 5】若 | x - y + 1 | +(2 x - 3) 2 = 0 ,求 1练习:题型二:分数除法:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.1.不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的系数化为整数3 0.4a + b51 1 4 a - 10 bb a ÷ dc = ()()xy) ÷ [( x + y) ⋅ ( x - y 3x ) ] ÷y 2 的值.⎪- c ) ⋅ ( - ab ) 2 ÷ ( x + y ) ⋅ ( x 2 - y 2 ) ÷ ( y - x 2y + x ) ; 题型一:同分母分数相加减:分母不变,把分子相加减。

c xy ;(2) xy - ( x - y)2xy + xy .;(3) 2 a 2 - 1 ,其中 a 满足 a 2 - a = 0 .a + 2 a 2 - 2a + 1 ÷ a 2 -学习必备 欢迎下载【例2】 计算下列各式:(1) 5b 2 ÷ ⎛ - 10bc ⎫ ;3ac ⎝ 21a ⎭(2) 12xy 5a÷ - 8x 2y ;(2)已知 x : y = 2 : 3 ,求 ( x 2 - y 2x.题型三:分式的混合运算:熟记分式乘除法法则(四)、分式的加减法【例 3】计算:(1) ( a 2b 3 c 2bc ) 4 ; (2) ( 3a 3 3 a【例1】 计算:d a + b + a + b=( x + y ) ( x - y )2 ( x + y)2 (1) x x 2 - y 2 - y y 2 - x 2题型四:化简求值题【例 4】先化简后求值(1) a - 1 ⋅ a 2 - 41题型二:异分母分数相加减:正确地找出各分式的最简公分母。

求最简公分母概括为:(通分)① 最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;② 最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积;③ 分母是多项式时一般需先因式分解。

(23ab )【例2】通分:(1)3a+2b a+b b-a5a2b,5a2b5a2b(2)n-m m-n n-m1-1x-156-做一做在方程①x-7=x+82=x,③83=8+2x2-1x-1,④x-2【例3】(1)计算:3(3)1x-3-x+3a2-4-a-2【例4】计算:(1)、(xx-2-x+2)÷2-x,2x-4⎝x-2-x-2⎪(1)1x(2)1-xx-1=x;(2)x=0;(3)x+3=x+5x-1-x2-1=1;(4),,,m+2n n2m学习必备欢迎下载分式方程概念:方程中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.1x,②x=0中,是分6式方程的有()A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④问题2:怎么解问题1中的分式方程:x-4-24a2x2-16.(2)计算a-b-a-b题型三:加减乘除混合运算111;(4);【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.(一)分式方程题型分析x4x3+3⎛5⎫(2)÷⎭题型一:用常规方法解分式方程11【例1】解下列分式方程x-3=x-2=2-x-2新授知识分式方程(1)132x-3-1x+145+x4-x问题1:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?x-1+=0;(2)x-2=;学习必备欢迎下载【主要方法】 1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数.提示易出错的几个问题:①分子不添括号;②漏乘整数项;③约去相同因式至使漏根;④忘记验根.题型二:求待定字母的值【例5】若分式方程2x+ax-2=-1的解是正数,求a的取值范围.练习:1.解下列方程:2x x+11-2x4 x-3x-3(1)。

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