湖北省黄冈中学襄樊五中2020届高三数学理科11月联考试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的．1．已知复数z 1＝3＋i , z 2＝2－i , 则z 1z 2在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．把直线y ＝－2x 按向量a ＝（－2, 3）平移后所得直线方程为A ．y ＝－2x －3B ．y ＝－2x ＋3C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－2x －1 3．函数y ＝f （x ）的反函数的图象与y 轴交于点P （0, 2），则方程f （x ）＝0的根为A ．4B ．3C ．2D ．14．下列函数在x ＝0处连续的是A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x xB ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx ||D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．下列命题中，正确的是①数列{（－1）n 3}没有极限；②数列{（－1）nn2}的极限为0； ③数列{n)23(3-+}的极限为3； ④数列{nn)3(2}没有极限． A ．①②B ．①②③C ．②③④D ．①②③④6．若函数f （x ）＝－x 2＋2ax 与g （x ）＝（a ＋1）1－x 在区间[1, 2]上都是减函数，则a 的取值范围是A ．（－1, 0）B ．（－1, 0）⋃(]1,0C ．（0, 1）D ．(]1,0 7．已知命题p :函数y ＝log a （ax ＋2a ）（a >0, 且a ≠1）的图象必过定点（－1, 1）；命题q ：如果函数y ＝f （x －3）的图象关于原点对称，那么函数y ＝f （x ）的图象关于（3, 0）点对称． 则A ．“p 且q ”为真B ．“p 或q ”为假C ．p 真q 假D ．p 假q 真8．已知y ＝f （x ）是偶函数，当x >0时，f （x ）＝xx 4+, 且当]1,3[--∈x 时, n m x f ≤≤)( 恒成立，则m －n 的最小值是A ．31 B ．32C ．1D ．349．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1, |x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是 A ．g （x ）⊂M B ．g （x ）∈MC ．g （x ）∉MD ．不能确定10．已知f （x ）是R 上的偶函数，g （x ）是R 上的奇函数, 且对于x ∈R, 都有g （x ）＝f （x －1），则f （2020）的值为 A ．1B ．－1C ．0D ．不确定二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上。

11．若复数iia -+3是纯虚数，则实数a ＝ ． 12．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}, B ＝{x |mx ＋1＝0}． 若B ⊆A, 则实数m 所能取的一切值构成的集合为 ．13．设函数f （x ）＝x 3－3x （x ∈R ）, 若关于x 的方程f （x ）＝a 有3个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ．14．已知一个函数f （x ）满足:①定义域为R;②对任意的a , b ∈R, 若a ＋b ＝0, 则f （a ）＋f （b ）＝0;③对任意的x ∈R, 若m <0, 则f （x ）>f （x ＋m ）, 则f （x ）可以是 （写出一个即可）15．若存在实数k , 使关于x 的不等式（x ＋k ）2≤x 对一切x ∈[1, m ]恒成立，则m 的最大值为 。

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}, B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}；若A ⋃B ＝{2,5,21-}，求A ⋂B ．17．（本小题满分12分）若函数y ＝a 2x ＋2a x －1（a >0且a ≠1）在[－1,1]上的最大值为14, 求实数a 的值．18．（本小题满分12分）设a 为实数, 函数f （x ）＝x 3－x 2－x ＋a ． （1）求f （x ）的极值;（2）若曲线y ＝f （x ）与x 轴仅有一个交点, 求a 的取值范围．19．（本小题满分12分）设函数f （x ）＝ax x -+12，求a 的取值范围，使函数f （x ）在（0, ＋∞）上是单调函数．20．（本小题满分13分）已知函数f （x ）＝x 2＋2x ＋3（1）求f （x ）的反函数f －1（x ）及反函数的定义域A ； （2）设B ＝{x |lg xx+-1010>lg （2x ＋a －5）}, 若A ⋂B Φ≠, 求实数a 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知定义域为[0, 1]的函数f （x ）同时满足：①对于任意的x ∈[0, 1]，总有f （x ）≥0; ②f （1）＝1;③若0≤x 1≤1, 0≤x 2≤1, x 1＋x 2≤1, 则有f （x 1＋x 2） ≥ f （x 1）＋f （x 2）． （1）试求f （0）的值;（2）试求函数f （x ）的最大值； （3）试证明：当x ]21,21(1-∈n n, n ∈N ＋时，f （x ）<2x ．[参考答案]一、 1．B 2．D3．C 4．A5．D 6．D7．C8．C9．B10．C二、11．31 12． {31,0,21-} 13．（－2,2） 14．x 15．4三、解答题16．依题意A,B 均为非空集合．设x 1,x 2是方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根,则x 1x 2＝1．再由x 1,x 2}2,5,21{-∈知方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根分别为21,2 ,即A ＝}2,21{从而52212-=⇒+=-a a …… …… …… …… …… …… ……8分于是B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}＝{x |x 2＋3x －5＝0}＝{－5,2}所以A ⋂B ＝{2}…… …… …… …… …… …… …… ……12分 17．设a x ＝t ,则y ＝f （t ）＝t 2＋2t －1＝（t ＋1）2－2．其对称轴是t ＝－1．10若a >1,由x ]1,1[-∈知,t ],1[a a ∈,二次函数在],1[a a上是增函数，从而y max ＝f （a ） 令f （a ）＝a 2＋2a －1＝14,解得a ＝3（a ＝－5不合题意,舍去）…… … … …6分 20若0<a <1,由x ]1,1[-∈知,]1,[a a t ∈,二次函数在]1,[a a 上仍是增函数,从而 y max ＝f （a1） 令f （a 1）＝1212-+a a＝14,解得a ＝31（a ＝51-不合题意舍去） 综上a ＝3或a ＝31为所求．…………………………………………………………12分18．（1）)(x f '＝3x 2－2x －1．若)(x f '＝0,则x ＝－31或x ＝1…… … …… …… 2分当x 变化时，)(x f '、f （x ）的变化情况如下表:…4分所以f （x ）的极大值是f （31-）＝a +275,极小值是f （1）＝a －1．………………6分（2）函数f （x ）＝x 3－x 2－x ＋a ＝（x －1）2（x ＋1）＋a －1．由此可知x 取足够大的正数时有f （x ）>0, x 取足够小的负数时有f （x ）<0． 所以曲线y ＝f （x ）与x 轴至少有一个交点． ……………………………………8分 结合f （x ）的单调性可知, 当f （x ）的极大值a +275<0,即a ∈)275,(--∞时，它的极小值也小于0． 因此曲线y ＝f （x ）与x 轴仅有一个交点,它在（1,＋∞）上． 当f （x ）的极小值a －1>0,即a ∈),1(+∞时，它的极大值也大于0． 因此曲线y ＝f （x ）与x 轴仅有一个交点,它在（31,-∞-）上． 所以当),1()275,(+∞⋃--∞∈a 时，曲线y ＝f （x ）与x 轴仅有一个交点．…12分 19．当x >0时,a x xx f -+='122)(2＝a x x -+122＝a x -+-1112……………3分 又当x >0时,x 2＋1>1,11102<+<x ,111102<+-<x ,111102<+-<x 记g （x ）＝1112+-x 欲使0)(≥'x f 在（0,＋∞）上恒成立,则a ≤g min （x ）,即a ≤0; 欲使0)(≤'x f 在（0,＋∞）上恒成立,则a ≥g max （x ）,即a ≥1;综上所述:所求a 的取值范围为),1[]0,(+∞⋃-∞．………………………………12分 （其它方法相应给分） 20．（1）f （x ）＝（x ＋1）2＋2Θ－2≤x ≤－1，∴－1≤x ＋1≤0，0≤（x ＋1）2≤1，2≤（x ＋1）2＋2≤3 ∴2≤f （x ）≤3 … … … … …2分 由y ＝（x ＋1）2＋2得 x ＋1＝－2-y （其中x ＋1＝2-y 舍去）即x ＝－1－2-y ……4分∴)(1x f-＝－1－2-x 且)(1x f-的定义域A ＝[2,3]．………………………6分（2） lg )52lg(1010-+>+-a x x x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+>+->-+>+-52101005201010a xx a x x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧+-+<+->42102052xx x a a 8分 记f （x ）＝52+-x ,g （x ）＝521010+-+-x xx则f （x ）,g （x ）在A 上均单调递减．欲使A ⋂B Φ≠,那么当x ∈A 时,a >f min （x ）＝f （3）且a <g max （x ）＝g （2） 10分 易得f （3）＝－3, g （2）＝35 故所求a 的取值范围为)35,3(-．…………12分 21．（1）令x 1＝x 2＝0,依条件（3）可得f （0＋0）≥2f （0）,即f （0）≤0又由条件（1）得f （0）≥0 故f （0）＝0…… … … … …… … …3分 （2）任取0≤x 1<x 2≤1可知x 2－x 1∈（0,1],则f （x 2）＝f [（x 2－x 1）＋x 1]≥f （x 2－x 1）＋f （x 1）≥f （x 1）于是当0≤x ≤1时,有f （x ）≤f （1）＝1因此当x ＝1时,f （x ）取最大值1．………8分（3）证明：先用数学归纳法证明:当x ∈]21,21(1-n n （n ∈N ＋）时,f （x ）≤121-n 10当n ＝1时,x ∈]1,21(，f （x ）≤f （1）＝1＝021,不等式成立．当n ＝2时,x ]21,41(∈,21<2x ≤1,f （2x ）≤1,f （2x ）≥f （x ）＋f （x ）＝2f （x ）∴f （x ）≤21f （2x ）≤21不等式成立．20假设当n ＝k （k ∈N ＋,k ≥2）时,不等式成立,即x ∈]21,21(1-k k 时，f （x ）≤121-k则当n ＝k ＋1时,x ]21,21(1k k +∈,记t ＝2x ，则t ＝2x ∈]21,21(1-k k , ∴f （t ）≤121-k而f （t ）＝f （2x ）≥2f （x ），∴f （x ）≤21f （2x ）＝21f （t ）≤1)1(21-+k因此当n ＝k ＋1时不等式也成立．由10,20知,当x ∈]21,21(1-n n （n ∈N ＋）时,f （x ）≤121-n 又当x ∈]21,21(1-n n （n ∈N ＋）时,2x >121-n , 此时f （x ）<2x ．综上所述：当x ∈]21,21(1-n n （n ∈N ＋）时,有f （x ）<2x ．………………………14分。