1
清华大学电路原理教学组
书 17-5
题图 17-5 中选支路 1,3,7,8,9 为树，写出基本割集矩阵 Qf 和基本回路矩阵 Bf。并验证 ② 1 ① 3 5 10 2 ⑥ 4 6 ⑤ 7 9 题图 17-5 1 3 7 8 9 2 4 5 6 10 ④ 8 ③
Ql = − B 。
T t
解
1 ⎡1 3⎢ ⎢0 Qf = 7 ⎢ 0 ⎢ 8 ⎢0 9⎢ ⎣0
习题集 16-16
电路如题图 16-16 所示。写出其节点电压矩阵方程。 L3
1 2
I S1
G1
C2
+
L4
−
U 2
C4 G3
3
g mU 2
题图 16-16 解 有向图如题图 16-16(a)所示。 5 ① 4 1 2 0 题图 16-16(a)
②
3
⎡1 1 0 1 1 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ 0 0 −1 −1 −1⎦
I S1
R1
0
C5
R4
题图 16-14 解 有向图如题图 16-14(a)所示。 ① 2 ② 5 3 ③
1 0
4
题图 16-14(a)
⎡ 1 −1 0 0 0 ⎤ ⎥ A=⎢ ⎢ 0 1 −1 0 1 ⎥ ⎢ ⎣0 0 1 1 0 ⎥ ⎦
3
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⎡ R1 ⎢0 ⎢ Z =⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
5
R6 G1
解
有向图如题图 16-13(a)所示。 题图 16-13 ③ 5 ② 4 2 6
①
3 0
1
题图 16-13(a)
2
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n = AI S − AYU S ，其中各矩阵和向量分别为 矩阵形式的节点电压方程为 AYATU
⎡1 0 0 −1 0 0 ⎤ ⎥ A=⎢ ⎢ 0 0 0 1 −1 1 ⎥ ⎢ 0 −1 −1 0 1 0 ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡G1 ⎢ 0 1/ R 0 0 0 0 ⎥ 2 ⎢ ⎥ ⎢0 0 jωC3 0 0 0 ⎥ Y =⎢ ⎥ 0 0 1/jω L4 0 0 ⎥ ⎢0 ⎢0 0 0 0 1/jω L5 0 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 0 1/ R6 ⎦ ⎢0 ⎥ ⎣ T S = ⎡0 U S2 0 0 0 0 ⎤ U ⎣ ⎦ T IS = ⎡ ⎣ I S1 0 0 0 0 0 ⎤ ⎦
由此可知 Ql = − Bt 。
T
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0 ⎥ ＝ [ Bt ⎥ 0⎥ 1⎥ ⎦
I]
习题集 16-13
用矩阵形式写出题图 16-13 所示电路的节点电压方程。 ③ R2 +
−
0
jωL5 ② jωL4 ①
U S2
1 −j ωC 3
I S1
题图 17-3 解 支路集合(1, 5, 8, 9)，(6, 8)，(3, 4, 5, 6) 各构成一个割集。
书 17-4 对题图 17-4，指出下列支路集合中哪些是树支，哪些是割集。 (1) (4, 5, 8, 9) (2) (1, 4, 6, 7) 5 4 (3) (1, 4, 6, 7, 8) 1 (4) (4, 3, 9) 2 6 (5) (5, 2, 6, 8, 9) (6) (2, 6, 7) 3 7 8 9 题图 17-4 解 支路集合(1,4,6,7,8)，(5,2,6,8,9) 构成一个树支集。 支路集合(4,5,8,9)，(1,4,6,7,8)，(4,3,9) 构成一个割集。
S1
⎡1/ R1 ⎢ 0 ⎢ Y = Z −1 = ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0 S = [0 0 0 U IS = ⎡ ⎣ I S1 0 n = ⎡U U ⎣ n1 U n2
⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ 1/jω C5 ⎥ ⎦ 0 0 0 0 0 1/ R4 0
−M / Δ L2 / Δ 0 0
书 17-3 (1) (2) (3) (4) (5)
0 0 0 0 −1 1 0 0 0 ⎤ 1 0 0 0 0 −1 −1 0 0 ⎥ ⎥ 0 −1 0 0 0 0 1 1 0 ⎥ ⎥ 0 0 −1 0 1 0 0 0 1 ⎥ 0 0 0 −1 0 0 0 −1 −1⎥ ⎦
对题图 17-3，指出下列支路集合中哪一个构成一个割集。 ① (1, 5, 8, 9) (1, 4, 9) 1 2 (6, 8) 9 ② (1, 4, 6, 7, 9) ⑥ (3, 4, 5, 6) 3 6 5 4 ③ 7 ④ 8 ⑤
T n = ⎡U U ⎣ n1 U n2 U n3 ⎤ ⎦
将上述各矩阵、列向量代入节点电压方程，整理得
⎡ 1 ⎢G1 + jω L4 ⎢ ⎢ 1 ⎢ − ⎢ jω L4 ⎢ 0 ⎢ ⎣
习题集 16-14
−
1 jω
1 1 1 + + R6 jω L4 jω L5 − 1 jω L5
n = ⎡U U ⎣ n1 U n2 ⎤ ⎦ T − AYU ，整理可得节点电压方程为 代入 AYA U = AI
n S S
1 ⎡ ⎢G1 + jωC2 + jω L + Yb4 3 ⎢ 1 ⎢ ⎢ − g m − jω L − Yb4 3 ⎣
1 ⎤ − Yb4 ⎥ jω L3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢U n1 ⎥ = ⎢ I S1 ⎥ 1 ⎥ U 0 + Yb4 + G5 ⎥ ⎣ n 2 ⎦ ⎣ ⎦ jω L3 ⎦ −
⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ⎤ ⎥ ⎡U I ⎥ ⎢ n1 ⎥ ⎢ S1 ⎥ 1 ⎢ 0 ⎥ − ⎥ ⎢U n2 ⎥ = jω L5 ⎥ ⎢U ⎥ ⎢U ⎥ n3 ⎦ ⎢ S2 ⎥ ⎣ ⎥ 1 1 ⎢ ⎥ + jωC3 + ⎥ ⎣ R2 ⎦ jω L5 ⎦ R2 0
试列写题图 16-14 所示有互感交流电路相量形式的节点电压方程的矩阵形式。 M ① ③ L L2 3 ②
4
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0 ⎡G1 0 ⎢0 G 0 2 ⎢ Ym = ⎢ 0 g m G3 ⎢ 0 0 1/(jω L4 ⎢0 ⎢ 0 0 ⎣0 S = [ 0 0 0 0 0 0] T U T IS = ⎡ ⎣ I S1 0 0 0 0 0 ⎤ ⎦
T
⎤ 0 0 ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ + 1/jω C4 ) 0 ⎥ 0 1/jω L5 ⎥ ⎦ 0 0
0 0] T
0 0
T 0⎤ ⎦
0 ⎤ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ， Δ = jω ( L2 L3 − M 2 ) ⎥ 0 ⎥ jω C5 ⎥ ⎦
n3 ⎤ T U ⎦
−
L3 + M Δ
L2 + L3 + 2 M + jωC5 Δ L2 + M Δ
⎤ ⎥ ⎤ ⎡I ⎤ ⎥ ⎡U n1 S1 L2 + M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ U 0 = n2 Δ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢U n 3 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ L2 1 ⎥ ⎣ + Δ R4 ⎥ ⎦ M Δ
1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
3
0 0 0 1 0
7
0 −1 0 0 −1 0 0 −1 −1 0 1 1 1 0 0
8 9
0 1 1 0 1 0 1 0 0 0
0 1⎤ 0 1⎥ ⎥ 1 1 ⎥ = [I ⎥ 0 −1⎥ 1 0⎥ ⎦
6 10
Ql ]
2 4 5
2 ⎡ 1 1 1 −1 0 4⎢ ⎢ 0 0 1 −1 0 Bf = 5 ⎢ 0 −1 −1 0 −1 ⎢ 6 ⎢ 0 0 −1 0 −1 10 ⎢ ⎣ −1 −1 −1 1 0
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第 14 次作业参考答案
书 17-1、3、4、5 习题集 16-13、14、16
书 17-1
写出题图 17-1 所示图的关联矩阵 A。 ② 7 ① 6 4 ⑤ 1 2 3 ④ 5 10 题图 17-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ⑥ 8 ③ 9
解
1 ⎡1 2⎢ ⎢0 A = 3 ⎢0 ⎢ 5 ⎢0 6⎢ ⎣0
0 jω L2 jω M 0 0
0 jω M jω L3 0 0 0 L3 / Δ −M / Δ 0 0
0 0 0 R4 0
n = AI S − AYU S ，整理得 将上述各矩阵、列向量代入节点电压方程 AYATU
⎡ L3 1 ⎢ Δ+R 1 ⎢ M L + ⎢ 3 ⎢− Δ ⎢ ⎢ M ⎢ Δ ⎣